Seja f(z)=1z^4+z^3-2 z^2. Calcule Res(f ; 0).
a) 0
b) 1 / 2
c) 1 / 3
d) -1 / 4
e) -1 / 12.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A questão é sobre calcular o resíduo de uma função complexa no ponto z = 0 . O que precisamos saber aqui são os conceitos de funções racionais e resíduos em análise complexa. Vamos precisar entender como identificar o tipo de singularidade no ponto dado e aplicar a fórmula adequada para encontrar o resíduo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função f(z) = 1z^4 + z^3 - 2z^2 . Para encontrar o resíduo em z = 0 , precisamos ver se z = 0 é um polo e, se for, de que ordem ele é.

Passo 3

Vamos fatorar o denominador para facilitar a análise:
z^4 + z^3 - 2z^2 = z^2(z^2 + z - 2)
Agora, fatorando o polinômio quadrático:
z^2 + z - 2 = (z + 2)(z - 1)
Então, temos:
f(z) = 1z^2(z + 2)(z - 1)

Passo 4

Observamos que no denominador aparece z^2 , o que indica que z = 0 é um polo de ordem 2. Para calcular o resíduo em um polo de ordem 2, usamos a seguinte fórmula:
Res(f; 0) = limz to 0 ddz [ (z - 0)^2 f(z) ]
Substituindo f(z) :
Res(f; 0) = limz to 0 ddz [ z^2 cdot 1z^2(z + 2)(z - 1) ] = limz to 0 ddz [ 1(z + 2)(z - 1) ]

Passo 5

Vamos derivar a função dentro do limite:
Agora, avaliamos o limite quando :

Resposta

A resposta correta é d) -14 .

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