Seja
. Calcule
.
a) 0
b)
c)
d)
e)
.
a) 0
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A questão é sobre calcular o resíduo de uma função complexa no ponto
. O que precisamos saber aqui são os conceitos de funções racionais e resíduos em análise complexa. Vamos precisar entender como identificar o tipo de singularidade no ponto dado e aplicar a fórmula adequada para encontrar o resíduo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Para encontrar o resíduo em
, precisamos ver se
é um polo e, se for, de que ordem ele é.
Passo 3
Vamos fatorar o denominador para facilitar a análise:
Agora, fatorando o polinômio quadrático:
Então, temos:
Passo 4
Observamos que no denominador aparece
, o que indica que
é um polo de ordem 2. Para calcular o resíduo em um polo de ordem 2, usamos a seguinte fórmula:
Substituindo
:
Passo 5
Vamos derivar a função dentro do limite:
Agora, avaliamos o limite quando
:
Resposta
A resposta correta é d)
.