If LF(t)=f(s), prove that LF^prime prime prime(t)=s^3 f(s)-s^2 F(0)-s F^prime(0)-F^prime prime(0)
stating appropriate conditions on F(t).

Passo 1

Resumindo, queremos mostrar que, se
LF(t)=f(s),
então
LF'''(t) =s^3f(s)-s^2F(0)-sF'(0)-F''(0)
O conteúdo usado será a definição de transformada de Laplace e a propriedade
LG'(t)=s,LG(t)-G(0).
Precisamos supor que F, F' e F'' sejam contínuas por partes em [0,infty) e de ordem exponencial, para que as integrais convirjam e o termo de fronteira em ttoinfty anule.

Passo 2

Calculemos primeiro
Fazendo integração por partes com
( ]
obtém-se

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Passo 3

Aplique agora a mesma propriedade a F'(t). Ou seja, trate G(t)=F'(t) e use
LG'(t)=s,LG(t)-G(0).
Então
LF''(t) =s,LF'(t)-F'(0) =sl(s,f(s)-F(0)r)-F'(0) =s^2f(s)-s,F(0)-F'(0)

Passo 4

Finalmente, aplique a propriedade mais uma vez a G(t)=F''(t):
LF'''(t) =s,LF''(t)-F''(0) =sl(s^2f(s)-s,F(0)-F'(0)r)-F''(0)
Expandindo, chega-se a
LF'''(t) =s^3f(s)-s^2F(0)-s,F'(0)-F''(0)

Resposta

boxed LF'''(t) =s^3f(s)-s^2F(0)-s,F'(0)-F''(0),
válido quando F, F' e F'' são contínuas por partes em [0,infty) e de ordem exponencial.

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