If
, prove that
stating appropriate conditions on
.
stating appropriate conditions on
Passo 1
Resumindo, queremos mostrar que, se
então
O conteúdo usado será a definição de transformada de Laplace e a propriedade
.
Precisamos supor que ,
e
sejam contínuas por partes em
e de ordem exponencial, para que as integrais convirjam e o termo de fronteira em
anule.
Precisamos supor que
Passo 2
Calculemos primeiro
Fazendo integração por partes com
( ]
obtém-se
Logo
(
obtém-se
Logo
Passo 3
Aplique agora a mesma propriedade a
. Ou seja, trate
e use
.
Então
Então
Passo 4
Finalmente, aplique a propriedade mais uma vez a
:
Expandindo, chega-se a
Resposta
válido quando
,
e
são contínuas por partes em
e de ordem exponencial.