Given A=4 x y ax-x y^2 ay+5 sin z az, find nabla cdot A at
(2,2,0).

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
A(x,y,z)=4,x,y,ax-x,y^2,ay+5sin z,az
e pede o divergente nablacdotA avaliado em (2,2,0). O conteúdo aqui é o operador divergente em coordenadas cartesianas, que envolve derivadas parciais de cada componente de A.

Passo 2

Lembrando que em coordenadas cartesianas
nablacdotA =partial Axpartial x +partial Aypartial y +partial Azpartial z,
onde Ax=4xy, Ay=-x,y^2 e Az=5sin z.

Passo 3

Calculamos cada derivada parcial:
partial Axpartial x =partial (4xy)partial x =4y,
partial Aypartial y =partial (-x,y^2)partial y =-xcdot 2y =-2xy,
partial Azpartial z =partial (5sin z)partial z =5cos z

Passo 4

Somando as parcelas, obtemos a expressão geral do divergente:
nablacdotA =4y -2xy +5cos z
Para avaliar em (x,y,z)=(2,2,0):
nablacdotA|(2,2,0) =4cdot 2 -2cdot 2cdot 2 +5cos(0) =8 -8 +5cdot 1 =5

Resposta

O valor de nablacdotA em (2,2,0) é 5.

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