Given A=2 x y ax+z ay+y z^2 az, find nabla cdot A at
(2,-1,3).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial em coordenadas cartesianas
A=2xy,ax + z,ay + y z^2,az
e pede o valor de nablacdotA no ponto (2,-1,3). Vamos usar a definição de divergente em cartesianas.

Passo 2

Em coordenadas cartesianas, o divergente de um campo A=Ax,ax + Ay,ay + Az,az é
nablacdotA = partial Axpartial x + partial Aypartial y + partial Azpartial z

Passo 3

Aqui temos
Ax = 2xy, Ay = z, Az = y z^2
Logo,
partial Axpartial x = partial (2xy)partial x = 2y, partial Aypartial y = partial zpartial y = 0, partial Azpartial z = partial (y z^2)partial z = 2yz
Assim,
nablacdotA = 2y + 0 + 2yz = 2y(1 + z)

Passo 4

Substituindo o ponto (x,y,z)=(2,-1,3):
nablacdotAl|(2,-1,3) = 2(-1)l(1+3r) = -2 times 4 = -8

Resposta

-8

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