1. Se \vec{B}=B_{x} \hat{i}+B_{y} \hat{j} é somado ao vetor \vec{C}=C_{x} \hat{i}+C_{y} \hat{j}, o resultado é um vetor no sentido do semi-eixo y positivo, com um módulo igual ao de \vec{C}. Com base nestas afirmações, marque a alternativa verdadeira.
    (a) B_{x}=-C_{x} e B_{y}=\sqrt{C_{x}^{2}+C_{y}^{2}}-C_{y}
    (b) B_{x}=-C_{y} e B_{y}=-C_{x}
    (c) B_{x}+B_{y}=C_{x}+C_{y}
    (d) B_{x}=-C_{y} e B_{y}=C_{x}^{2}+C_{y}^{2}-C_{x}
    (e) B_{x}=B_{y}=C_{x}=C_{y}

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em coordenadas cartesianas:
\vec{B}=B_{x}\,\hat{i}+B_{y}\,\hat{j},\qquad \vec{C}=C_{x}\,\hat{i}+C_{y}\,\hat{j}.
Diz que a soma \vec{S}=\vec{B}+\vec{C} é um vetor no sentido do semi-eixo y positivo e que o módulo de \vec{S} é igual ao módulo de \vec{C}.
As perguntas implícitas: quais equações essas condições impõem sobre B_{x} e B_{y}, e qual alternativa (a)–(e) está correta com base nisso?
Informações relevantes listadas:
\vec{S}=\vec{B}+\vec{C},\qquad \vec{S}\\ \text{está no sentido }+y,\qquad |\vec{S}|=|\vec{C}|.á

Passo 2

Vamos escrever a soma componente a componente. A soma vetorial em componentes é
\vec{S}=(B_{x}+C_{x})\,\hat{i}+(B_{y}+C_{y})\,\hat{j}.
\vec{S} está no sentido do semi-eixo y positivo” significa duas coisas:
\text{(i)}\quad S_{x}=0\quad\Rightarrow\quad B_{x}+C_{x}=0,
\text{(ii)}\quad S_{y}>0\quad\Rightarrow\quad B_{y}+C_{y}>0.
Da equação \,B_{x}+C_{x}=0\, isolamos imediatamente
B_{x}=-C_{x}.
Isso já elimina qualquer alternativa que afirme outro valor para B_{x} que não seja -C_{x}, salvo casos especiais onde componentes se igualem por coincidência.

Passo 3

Agora use a condição de módulos: o módulo de um vetor \,(X_{x}\,\hat{i}+X_{y}\,\hat{j}) é
|X|=\sqrt{X_{x}^{2}+X_{y}^{2}}.
Aplicando a \vec{S} e \vec{C}:
|\vec{S}|=\sqrt{(B_{x}+C_{x})^{2}+(B_{y}+C_{y})^{2}}, \qquad |\vec{C}|=\sqrt{C_{x}^{2}+C_{y}^{2}}.
Mas já temos B_{x}+C_{x}=0, então a expressão para |\vec{S}| simplifica para
|\vec{S}|=\sqrt{0^{2}+(B_{y}+C_{y})^{2}}=|B_{y}+C_{y}|.
Como exigimos B_{y}+C_{y}>0 (vetor no sentido +y), temos
|B_{y}+C_{y}|=B_{y}+C_{y}.
Igualando os módulos:
B_{y}+C_{y}=\sqrt{C_{x}^{2}+C_{y}^{2}}.
Isolando B_{y}:
B_{y}=\sqrt{C_{x}^{2}+C_{y}^{2}}-C_{y}.

Passo 4

Reunindo os resultados:
B_{x}=-C_{x},\qquad B_{y}=\sqrt{C_{x}^{2}+C_{y}^{2}}-C_{y},
além da condição extra B_{y}+C_{y}>0 (que fica satisfeita pela igualdade ao lado direito positivo da equação anterior). Compare isso com as alternativas: a alternativa (a) afirma exatamente essas duas igualdades. Logo a alternativa (a) é a verdadeira.

Resposta

(a)

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