O governo alega que no máximo 15 % das famílias de certa área recebem renda inferior ao nível considerado como de pobreza. Numa amostra aleatória de 60 famílias, encontraram-se 12 em tais condições. Será que esse percentual aumentou? (Use alpha=10 % ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que o governo afirma que no máximo 15% das famílias de uma certa área têm renda abaixo do nível de pobreza. A gente fez uma amostra aleatória de 60 famílias e descobriu que 12 delas estão nessa condição. A pergunta é: será que esse percentual realmente aumentou? Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de estatística, mais especificamente o teste de hipóteses para proporções. Vamos precisar calcular a proporção observada na amostra, o erro padrão, o valor de z e comparar com o valor crítico para tomar nossa decisão.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a proporção observada na amostra. Isso é simplesmente o número de famílias com renda abaixo da pobreza dividido pelo total de famílias na amostra.
p = 1260 = 0,2 ou 20%

Passo 3

Agora, vamos calcular o erro padrão da proporção. O erro padrão nos dá uma ideia de quanto a nossa proporção observada pode variar em relação à proporção verdadeira da população. Usamos a fórmula:
SE = raizp0 (1 - p0)n
Onde:
  • $ p_0 = 0,15 $ (a proporção declarada pelo governo)
  • $ n = 60 $ (tamanho da amostra)
Substituindo os valores:
p0 = 0,15

Passo 4

Com a proporção observada e o erro padrão, podemos calcular o valor de z, que nos ajuda a entender quantos desvios padrão a nossa proporção está afastada da proporção da hipótese nula.
z = p - p0SE = 0,2 - 0,150,0462 approx 0,050,0462 approx 1,083

Passo 5

Agora, precisamos comparar o valor de z com o valor crítico correspondente ao nível de significância alpha = 10% (ou 0,10). Como estamos testando se o percentual aumentou, é um teste unilateral à direita. O valor crítico para alpha = 0,10 é aproximadamente 1,28.

Passo 6

Vamos comparar nosso z calculado com o valor crítico:
  • Se $ z > 1,28 $, rejeitamos a hipótese nula.
  • Se $ z \leq 1,28 $, não rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso, $ z \approx 1,083 $ que é menor que 1,28.

Resposta

Como o valor de z calculado (1,083) é menor que o valor crítico (1,28), não temos evidências suficientes para afirmar que o percentual de famílias com renda abaixo do nível de pobreza aumentou. Portanto, não rejeitamos a hipótese nula.

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