Gráfico Se uma pedra é lançada verticalmente para cima com velocidade , ela deve subir até uma altura máxima dada por . (a) Proponha uma forma de linearização para esta equação para extrair . (b) Um aluno realiza um experimento e mede os dados da Tabela 1. Construa um gráfico de . (c) Qual a grandeza que se extrai do coeficiente angular (inclinação) da reta? Determine o valor desta grandeza pelo método gráfico e pelo MMQ.
Tabela 1: Alturas e velocidades iniciais de uma pedra lançada verticalmente na questão 3.
0,4
0,8
1,4
2,0
2,6
3,4
3,8

Passo 1

O enunciado nos dá a relação entre a velocidade inicial v de uma pedra lançada para cima e a altura máxima h atingida:
v = raiz2,g,h
O conteúdo aqui é cinemática (energia ou movimento uniformemente variado) e precisamos linearizar essa equação para extrair o valor de g.

Passo 2

Elevando os dois lados ao quadrado, obtemos
v^2 = 2,g,h
Isso sugere uma linearização simples: plotar v^2 (eixo vertical) em função de h (eixo horizontal). Nesse gráfico a reta tem equação
v^2 = (2g),h + 0,
ou seja, o coeficiente angular m da reta é m = 2g.

Passo 3

Usando os dados da Tabela 1, montamos os pares l(h,,v^2r):
c|c h;(m) & v^2;(m^2/s^2)hline 0,4 & 7 0,8 & 17 1,4 & 25 2,0 & 38 2,6 & 45 3,4 & 62 3,8 & 72
Traçamos o gráfico de v^2 versus h com essas sete medições e ajustamos uma reta passando pelos pontos (ou muito próxima a eles).

Passo 4

Pelo método gráfico (reta pelos dois pontos extremos), escolhemos (h1,v1^2)=(0,4,7) e (h2,v2^2)=(3,8,72). A inclinação é
mrm gráfico =v2^2 - v1^2h2 - h1 =72 - 73,8 - 0,4 =653,4 approx 19,12;m/s^2 á
Como m=2g, obtemos
grm gráfico=mrm gráfico2approx19,122=9,56;m/s^2 áá

Passo 5

Pelo método dos mínimos quadrados (MMQ) não ponderado, calculamos
n=7, sum h=14,4, sum v^2=266, sum h^2=39,52, sum h,v^2=728,8
A inclinação do ajuste é
mrm MMQ =nsum(h,v^2)-(sum h)(sum v^2) nsum h^2-(sum h)^2 =7cdot728,8-14,4cdot2667cdot39,52-(14,4)^2 approx18,35;m/s^2,
e o intercepto é pequeno ( approx0,24). Logo
grm MMQ=mrm MMQ2approx18,352=9,18;m/s^2

Resposta

(a) Elevar ambos os lados ao quadrado e plotar v^2 versus h, pois daí v^2=2g,h.
(b) Gráfico de v^2 (eixo vertical) em função de h (eixo horizontal) com os pontos da tabela.
(c) O coeficiente angular da reta vale m=2g.
Pelo método gráfico: gapprox9,56;m/s^2.
Pelo MMQ: gapprox9,18;m/s^2.

Exercícios relacionados