Gráficos de controle barx e R estão em uso com os seguintes parâmetros:
Gráfico barx Gráfico R
LSC =363,0 LSC =16,18
Linha central =360,0 Linha central =8,91
LIC =357,0 LIC =1,64
O tamanho da amostra é n=9. Ambos os gráficos exibem controle. A característica da qualidade é normalmente distribuída.
(a) Qual é o risco a associado ao gráfico barx?
(b) Especificações para essa característica da qualidade são 358 pm 6. Quais são as suas conclusões sobre a habilidade do processo em produzir itens dentro das especificações?
© Suponha que a média se desloque para 357. Qual é a probabilidade de que esse deslocamento não seja detectado na primeira amostra subsequente ao deslocamento?
(d) Quais seriam os limites de controle apropriados para o gráfico barx se a probabilidade do erro tipo I tivesse que ser 0,01?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre gráficos de controle barx e R! A gente vai precisar entender como esses gráficos funcionam na Análise de Controle Estatístico de Processos (CEP). Vamos utilizar conceitos de distribuição normal, limites de controle, risco de erro e probabilidade de detecção de mudanças no processo. Preparado? Então, bora lá!

Passo 2

Parte (a): Qual é o risco $ \alpha $ associado ao gráfico $ \bar{x} $?

O que é o risco $ \alpha $?
O risco $ \alpha $ em um gráfico de controle $ \bar{x} $ representa a probabilidade de um falso alarme. Isso significa que é a chance de o gráfico indicar que o processo está fora de controle quando, na verdade, ele está estável.
Como calcular o risco $ \alpha $?
Para calcular $ \alpha alpha é \bar{x} $) caia além dos limites de controle (LSC ou LIC) quando o processo está realmente em controle.
Passos para calcular $ \alpha $:
  1. Estimativa do desvio padrão ($ \sigma $):
    O gráfico $ R $ nos ajuda a estimar o desvio padrão do processo. Os limites de controle do gráfico $ R $ são dados por:
    barx
    alpha
    Onde $ D_3 $ e $ D_4 $ são constantes que dependem do tamanho da amostra ($ n=9 $). Para $ n=9 $, $ D_3 = 0 $ e $ D_4 = 2.114 $.
  2. Calcular a média do gráfico $ R $ ($ \bar{R} $):
    alpha
  3. Calcular o desvio padrão ($ \sigma $):
    barx
    Onde $ d_2 $ é uma constante que também depende de $ n $. Para $ n=9 $, $ d_2 \approx 2.138 $.
    alpha
  4. Calcular o risco $ \alpha $:
    Sabendo que a média do processo é 360, os limites de controle do gráfico $ \bar{x} $ são 363,0 e 357,0. Usamos a distribuição normal para calcular $ \alpha $:
    alpha
    Primeiro, calculamos o desvio em termos de $ \sigma_{\bar{x}} $:
    barx
    Agora, calculamos os valores $ z $:
    alpha
    sigma
    Usando a tabela da distribuição normal, a probabilidade de $ z > 2,16 $ ou $ z < -2,16 $ é:
    R

Passo 3

Parte (b): Especificações são $ 358 \pm 6 $. Conclusões sobre a habilidade do processo em produzir itens dentro das especificações?

Entendendo as Especificações:
As especificações indicam que os produtos devem estar entre 352 e 364 unidades ($ 358 - 6 = 352 $ e $ 358 + 6 = 364 $).
Avaliação da Habilidade do Processo:
Para verificar se o processo é capaz de produzir dentro dessas especificações, comparamos os limites de especificação com os limites de controle do processo.
Passos:
  1. Limites de Controle vs. Especificações:
    • Limites de Controle $ \bar{x} $: 357,0 a 363,0
    • Limites de Especificação: 352 a 364
  2. Análise:
    • Os limites de controle estão dentro das especificações. Isso significa que o processo está controlado e os resultados esperados do processo não excedem as especificações estabelecidas.
  3. Conclusão:
    • Como os limites de controle estão bem dentro das especificações, o processo é capaz de produzir itens dentro das especificações com uma margem confortável.

Passo 4

Parte ©: Se a média se deslocar para 357, qual é a probabilidade de esse deslocamento não ser detectado na primeira amostra subsequente?

Entendendo o Cenário:
O processo foi deslocado de 360 para 357, ou seja, houve uma redução na média. Queremos saber a probabilidade de que, mesmo com esse deslocamento, o gráfico $ \bar{x} $ não sinalize que o processo está fora de controle na próxima amostra.
Cálculo da Probabilidade de Não Detectar o Deslocamento:
  1. Nova Média ($ \mu’ $): 357
  2. Limites de Controle já definidos:
    • LSC = 363,0
    • LIC = 357,0
  3. Desvio padrão da média da amostra ($ \sigma_{\bar{x}} $):
    barx
  4. Calcular a probabilidade de $ \bar{x} $ estar entre 357,0 e 363,0 quando $ \mu’ = 357 $:
    mu'
    sigmabarx
    Consultando a tabela da distribuição normal, a probabilidade de $ Z \leq 4,32 $ é praticamente 1 (mais precisamente, cerca de 0,99999).
  5. No entanto, temos que considerar que o deslocamento está no limite inferior:
    • Se o processo média se desloca para 357, o limite inferior está exatamente nesse valor. Portanto, precisamos calcular apenas a probabilidade de $ \bar{x} $ ser maior ou igual a 357,0.
    sigmabarx = sigmaraizn = 4,163 approx 1,39
Conclusão:
A probabilidade de que o deslocamento para 357 não seja detectado na próxima amostra é de 50%.

Passo 5

Parte (d): Quais seriam os limites de controle apropriados para o gráfico $ \bar{x} $ se a probabilidade do erro tipo I tivesse que ser 0,01?

Entendendo o Pedido:
Queremos ajustar os limites de controle do gráfico $ \bar{x} $ de modo que a chance de cometer um erro tipo I (falso alarme) seja de apenas 1%.
Passos para Determinar os Novos Limites de Controle:
  1. Definir $ \alpha = 0,01 $:
    Isso significa que a probabilidade total de um falso alarme é de 1%, ou seja, 0,5% em cada extremidade dos limites de controle (superior e inferior).
  2. Encontrar os valores $ z $ correspondentes a $ \alpha/2 = 0,005 $ em cada cauda:
    Consultando a tabela da distribuição normal, $ z_{0,005} \approx 2,576 $.
  3. Calcular o desvio padrão da média da amostra ($ \sigma_{\bar{x}} $):
    barx
  4. Determinar os novos limites de controle:
    barx
    alpha = 0,01
Conclusão:
Os novos limites de controle para o gráfico $ \bar{x} $, com um risco $ \alpha = 0,01 $, são aproximadamente:
  • LSC: 363,58
  • LIC: 356,42

Resposta

a) O risco $ \alpha $ associado ao gráfico $ \bar{x} $ é de aproximadamente 3,08%.
b) As especificações $ 358 \pm 6 $ (entre 352 e 364) estão bem acima e abaixo dos limites de controle do processo. Portanto, o processo é capaz de produzir itens dentro das especificações estabelecidas.
c) Se a média do processo se deslocar para 357, a probabilidade de que esse deslocamento não seja detectado na próxima amostra é de 50%.
d) Com um risco $ \alpha = 0,01 $, os novos limites de controle para o gráfico $ \bar{x} $ seriam aproximadamente:
  • Limite Superior de Controle (LSC): 363,58
  • Limite Inferior de Controle (LIC): 356,42

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