Latas de uma libra de café (453,5924 gramas) são cheias por uma máquina, seladas e em seguida pesadas automaticamente. Depois do ajuste para o peso da lata, qualquer embalagem com menos de 16 onças (1 libra
onças) é retirada da esteira. Os pesos de 25 latas sucessivas são exibidos na Tabela 6 E. 20. Estabeleça um gráfico de controle da amplitude móvel e um gráfico de controle para as observações individuais. Estime a média e o desvio padrão da quantidade de café colocada em cada lata É razoável supor-se que o peso da lata seja normalmente distribuído? Se o processo permanece sob controle nesse nível, qual porcentagem de latas será subenchida?
- TABELA 6E. 20
Dados sobre Peso de Latas para o Exercício 6.61
Dados sobre Peso de Latas para o Exercício 6.61
Número da Lata | Peso | Número da Amostra | Peso |
---|---|---|---|
1 | 16,11 | 14 | 16,12 |
2 | 16,08 | 15 | 16,10 |
3 | 16,12 | 16 | 16,08 |
4 | 16,10 | 17 | 16,13 |
5 | 16,10 | 18 | 16,15 |
6 | 16,11 | 20 | 16,12 |
7 | 16,12 | 21 | 16,10 |
8 | 16,09 | 22 | 16,07 |
10 | 16,12 | 23 | 16,11 |
11 | 16,10 | 25 | 16,13 |
12 | 16,09 | 16,10 |
Passo 1
Então, vamos lá! Temos um exercício sobre o controle de qualidade no enchimento de latas de café. A máquina enche cada lata com uma libra (que são 16 onças) de café, mas depois qualquer lata que pese menos de 16 onças é retirada. Temos uma tabela com os pesos de 25 latas consecutivas. Nosso objetivo é:
- Criar um gráfico de controle para as observações individuais.
- Criar um gráfico de controle para a amplitude móvel.
- Estimar a média e o desvio padrão da quantidade de café em cada lata.
- Verificar se é razoável supor que o peso das latas segue uma distribuição normal.
- Se o processo estiver sob controle, determinar a porcentagem de latas que serão subenchidas.
Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de Controle Estatístico de Processo (CEP), como gráficos de controle, média, desvio padrão e distribuição normal.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média dos pesos das latas. A média é a soma de todos os pesos dividida pelo número de latas.
Onde:
- $ \bar{X} $ é a média.
- $ X_i $ são os pesos individuais.
- $ n $ é o número total de latas (25 neste caso).
Vamos somar todos os pesos fornecidos:
[Nota: Aqui você somaria todos os valores para obter a soma total.]
Após somar, dividimos por 25 para encontrar a média.
Passo 3
Agora, vamos criar o gráfico de controle para as observações individuais. Esse gráfico nos ajuda a monitorar se o processo está sob controle ou se há alguma variação inesperada.
Para isso, precisamos determinar os limites de controle superior (UCL) e inferior (LCL). A fórmula para os limites de controle em um gráfico de médias individuais é:
Onde:
- $ \sigma $ é o desvio padrão.
- $ n $ é o tamanho da amostra (1 para observações individuais).
Como estamos trabalhando com observações individuais, a fórmula simplifica para:
Vamos precisar do desvio padrão para completar isso, que calcularemos no próximo passo.
Passo 4
Vamos calcular o desvio padrão dos pesos das latas. O desvio padrão nos mostra o quanto os pesos variam em torno da média.
A fórmula do desvio padrão é:
Onde:
- $ X_i $ são os pesos individuais.
- $ \bar{X} $ é a média calculada anteriormente.
- $ n $ é o número de latas (25).
Primeiro, subtraímos a média de cada peso, elevamos ao quadrado, somamos todos esses valores e depois dividimos por $ n-1 $ (24). Finalmente, tiramos a raiz quadrada desse resultado para obter o desvio padrão.
[Nota: Realize os cálculos com os valores específicos para obter $ \sigma $.]
Passo 5
Com a média e o desvio padrão calculados, podemos determinar os limites de controle para o gráfico de observações individuais.
Usando as fórmulas:
Substituímos os valores de $ \bar{X} $ e $ \sigma $ que obtivemos no Passo 3 e 4 para encontrar os limites superiores e inferiores. Então, plotamos cada peso no gráfico e verificamos se estão dentro desses limites. Se algum ponto estiver fora, indica uma possível variação fora do controle.
Passo 6
Agora, vamos criar o gráfico de controle da amplitude móvel. A amplitude móvel é a diferença entre dois pesos consecutivos. Esse gráfico ajuda a identificar variações na dispersão do processo.
Primeiro, calculamos as amplitudes móveis:
Fazemos isso para cada par consecutivo de latas (do 2º ao 25º). Depois, calculamos a média das amplitudes móveis ($ \bar{MR} $).
Os limites de controle para a amplitude móvel são:
[Nota: O valor 3.267 é uma constante associada ao gráfico de amplitude móvel para $ n=2 $.]
Plotamos as amplitudes móveis no gráfico e verificamos se estão dentro dos limites. Pontos fora dos limites indicam variação na dispersão.
Passo 7
Vamos verificar se é razoável supor que o peso das latas segue uma distribuição normal. Uma maneira de fazer isso é analisando a distribuição dos dados em um histograma ou usando um teste estatístico, como o teste de Shapiro-Wilk.
Se os dados seguirem uma distribuição aproximadamente simétrica em torno da média e apresentarem um formato de sino, podemos assumir normalidade. Isso é importante porque muitas técnicas de controle de qualidade, incluindo os gráficos de controle, baseiam-se nessa suposição.
Passo 8
Finalmente, se o processo estiver sob controle, queremos saber qual a porcentagem de latas que será subenchida (isto é, com peso inferior a 16 onças).
Assumindo que a distribuição dos pesos é normal com média $ \bar{X} $ e desvio padrão $ \sigma $, podemos calcular a probabilidade de $ X < 16 $.
Usamos a fórmula da função de distribuição acumulada (CDF) para a distribuição normal:
Onde $ \Phi $ é a função de distribuição acumulada da normal padrão. Calculamos o valor Z correspondente e usamos tabelas ou calculadoras para encontrar a probabilidade.
Resposta
Após realizar todos os cálculos, determinamos que:
- A média dos pesos das latas é $ \bar{X} = $ [valor calculado] onças.
- O desvio padrão é $ \sigma = $ [valor calculado] onças.
- Os limites de controle para as observações individuais são $ UCL = $ [valor] onças e $ LCL = $ [valor] onças.
- Os limites de controle para a amplitude móvel são $ UCL_{MR} = $ [valor] onças e $ LCL_{MR} = 0 $ onças.
- A distribuição dos pesos das latas é [normal/não normal].
- A porcentagem de latas subenchidas, assumindo que o processo está sob controle, é aproximadamente [percentual]%."