Um processo metalúrgico produz peças que são avaliadas por uma característica de qualidade que apresenta distribuição normal com média 25,4 e desvio padrão 1,5. Sabendo-se que a especificação para essa característica é 25,0 pm 4,25 pede-se:
  • Qual a estimativa atual da percentagem de não conformes produzidos;
  • Onde deveria estar localizada a média do processo para minimizar a percentagem de não conformes? e qual seria essa percentagem?
  • Calcule a capacidade do processo nos dois casos. Use os índices Cp e Cpk.
  • Calcule a capacidade do processo caso ele passasse por melhorias e seus parâmetros fossem alterados para: média =25,0 e desvio–padrão =1,25.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntinhos! A gente tem um processo que fabrica peças com uma característica de qualidade que segue uma distribuição normal. Aqui, a média é 25,4 e o desvio padrão é 1,5. A especificação pede que essa característica fique entre 20,75 e 29,25 (que é 25,0 ± 4,25). Vamos precisar de conceitos de distribuição normal, porcentagem de não conformes, e índices de capacidade do processo como $ \mathrm{C}p $ e $ \mathrm{C}{\mathrm{pk}} $.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a porcentagem atual de peças que não estão dentro das especificações, ou seja, que são não conformes. Para isso, precisamos encontrar a probabilidade de uma peça ter característica menor que 20,75 ou maior que 29,25.
Usamos a fórmula da padronização para transformar os valores em um escore z:
z = X - musigma
Onde:
  • $ X $ é o valor que queremos padronizar,
  • $ \mu $ é a média,
  • $ \sigma $ é o desvio padrão.

Passo 3

Vamos calcular o z para o limite inferior (20,75):
zinf = 20,75 - 25,41,5 = -4,651,5 = -3,1
E para o limite superior (29,25):
zsup = 29,25 - 25,41,5 = 3,851,5 approx 2,567

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a esses valores z na tabela da distribuição normal padrão.
  • Para $ z = -3,1 $, a probabilidade acumulada é aproximadamente 0,001.
  • Para $ z = 2,567 $, a probabilidade acumulada é aproximadamente 0,9949.
A probabilidade de uma peça estar fora das especificações é a soma das duas extremidades:
z = -3,1 ã
Convertendo para porcentagem:
z = 2,567

Passo 5

Agora, vamos determinar onde a média do processo deveria estar para minimizar a porcentagem de não conformes. A melhor posição é centralizar a média no meio das especificações.
A média ideal $ \mu_{ideal} $ é:
muideal
Então, a média deveria ser 25,0 para minimizar os não conformes.

Passo 6

Com a média ajustada para 25,0, vamos recalcular a porcentagem de não conformes com o mesmo desvio padrão de 1,5.
Calculando os z:
zinf = 20,75 - 25,01,5 = -4,251,5 approx -2,833
zsup = 29,25 - 25,01,5 = 4,251,5 approx 2,833
Buscando as probabilidades:
  • Para $ z = -2,833 $, a probabilidade acumulada é aproximadamente 0,0023.
  • Para $ z = 2,833 $, a probabilidade acumulada é aproximadamente 0,9977.
Assim:
z = -2,833 ã
Convertendo para porcentagem:
z = 2,833

Passo 7

Agora, vamos calcular a capacidade do processo usando os índices $ \mathrm{C}p $ e $ \mathrm{C}{\mathrm{pk}} $.
Índice $ \mathrm{C}_p $:
Cp
Índice $ \mathrm{C}_{\mathrm{pk}} $:
Cpk

Passo 8

Vamos calcular a capacidade do processo com a média ajustada para 25,0 e o mesmo desvio padrão de 1,5.
Índice $ \mathrm{C}_p $:
Cp
Índice $ \mathrm{C}_{\mathrm{pk}} $:
Cp = 29,25 - 20,756 times 1,5 = 8,59 approx 0,944

Passo 9

Por último, vamos calcular a capacidade do processo caso ele passe por melhorias, ajustando a média para 25,0 e reduzindo o desvio padrão para 1,25.
Índice $ \mathrm{C}_p $:
Cp
Índice $ \mathrm{C}_{\mathrm{pk}} $:
Cp = 29,25 - 20,756 times 1,25 = 8,57,5 approx 1,133

Resposta

  1. Porcentagem atual de não conformes: aproximadamente 0,61%.
  2. Média ideal para minimizar não conformes: 25,0, com uma porcentagem de não conformes de aproximadamente 0,46%.
  3. Capacidade do processo:
    • $ \mathrm{C}_p \approx 0,944 $
    • $ \mathrm{C}_{\mathrm{pk}} \approx 0,856 $
  4. Após melhorias (média = 25,0 e desvio padrão = 1,25):
    • $ \mathrm{C}_p \approx 1,133 $
    • $ \mathrm{C}_{\mathrm{pk}} \approx 1,133 $

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