Se D^{-1}X=A, como D é invertível (nenhuma entrada diagonal é zero), podemos multiplicar à esquerda por D para isolar X:
X=D\,A.
Explicação do porquê isso é válido: multiplicando ambos os lados da igualdade por D (à esquerda) obtemos D(D^{-1}X)=DA. Como D D^{-1}=I, isso dá X=DA.
Passo 3
Propriedade útil sobre multiplicação por matrizes diagonais:
Se D=\operatorname{diag}(d_1,d_2,\dots,d_n) e B é qualquer matriz n\times m, então
( D B)_{ij}=d_i\,B_{ij}.
Ou seja, multiplicar B à esquerda por D é simplesmente multiplicar cada linha i de B pelo escalar d_i. Isso facilita muito os cálculos: basta escalar cada linha pela respectiva entrada diagonal de D.
Passo 4
Aplicando a fórmula a este caso: temos D=\operatorname{diag}(1,2,3,4,5,6). Portanto cada linha i de A será multiplicada por i.
Linha 1 de A: \bigl[1\;0\;0\;0\;1\;1\bigr]. Multiplicando por d_1=1 obtém-se a linha 1 de X:
\text{linha 1 de }X = 1\cdot\bigl[1\;0\;0\;0\;1\;1\bigr]=\bigl[1\;0\;0\;0\;1\;1\bigr].
Passo 5
Linha 2 de A: \bigl[0\;1\;2\;2\;2\;2\bigr]. Multiplicando por d_2=2:
\text{linha 2 de }X = 2\cdot\bigl[0\;1\;2\;2\;2\;2\bigr]=\bigl[0\;2\;4\;4\;4\;4\bigr].
Passo 6
Linha 3 de A: \bigl[0\;0\;1\;1\;1\;1\bigr]. Multiplicando por d_3=3:
\text{linha 3 de }X = 3\cdot\bigl[0\;0\;1\;1\;1\;1\bigr]=\bigl[0\;0\;3\;3\;3\;3\bigr].
Passo 7
Linha 4 de A: \bigl[0\;0\;0\;1\;-1\;-1\bigr]. Multiplicando por d_4=4:
\text{linha 4 de }X = 4\cdot\bigl[0\;0\;0\;1\;-1\;-1\bigr]=\bigl[0\;0\;0\;4\;-4\;-4\bigr].
Passo 8
Linha 5 de A: \bigl[0\;0\;0\;0\;1\;0\bigr]. Multiplicando por d_5=5:
\text{linha 5 de }X = 5\cdot\bigl[0\;0\;0\;0\;1\;0\bigr]=\bigl[0\;0\;0\;0\;5\;0\bigr].
Passo 9
Linha 6 de A: \bigl[0\;0\;0\;0\;0\;1\bigr]. Multiplicando por d_6=6:
\text{linha 6 de }X = 6\cdot\bigl[0\;0\;0\;0\;0\;1\bigr]=\bigl[0\;0\;0\;0\;0\;6\bigr].