Resolva o sistema matricial D^{-1} X=A onde D=\operatorname{diag}(1,2,3,4,5,6)
A=\left[\begin{array}{cccccc}1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pedido: resolver o sistema matricial D^{-1} X = A para encontrar a matriz incógnita X.
  • Matrizes fornecidas:
    • D=\operatorname{diag}(1,2,3,4,5,6). Ou seja, D é uma matriz diagonal 6\times6 com entradas diagonais 1,2,3,4,5,6.
    • A=\left[\begin{array}{cccccc}1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 \\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right].
  • Objetivo claro: determinar X tal que D^{-1}X=A.]

Passo 2

Ideia geral do método (sem calcular ainda):
  • Se D^{-1}X=A, como D é invertível (nenhuma entrada diagonal é zero), podemos multiplicar à esquerda por D para isolar X:
X=D\,A.
  • Explicação do porquê isso é válido: multiplicando ambos os lados da igualdade por D (à esquerda) obtemos D(D^{-1}X)=DA. Como D D^{-1}=I, isso dá X=DA.

Passo 3

Propriedade útil sobre multiplicação por matrizes diagonais:
  • Se D=\operatorname{diag}(d_1,d_2,\dots,d_n) e B é qualquer matriz n\times m, então
( D B)_{ij}=d_i\,B_{ij}.
Ou seja, multiplicar B à esquerda por D é simplesmente multiplicar cada linha i de B pelo escalar d_i. Isso facilita muito os cálculos: basta escalar cada linha pela respectiva entrada diagonal de D.

Passo 4

Aplicando a fórmula a este caso: temos D=\operatorname{diag}(1,2,3,4,5,6). Portanto cada linha i de A será multiplicada por i.
  • Linha 1 de A: \bigl[1\;0\;0\;0\;1\;1\bigr]. Multiplicando por d_1=1 obtém-se a linha 1 de X:
\text{linha 1 de }X = 1\cdot\bigl[1\;0\;0\;0\;1\;1\bigr]=\bigl[1\;0\;0\;0\;1\;1\bigr].

Passo 5

  • Linha 2 de A: \bigl[0\;1\;2\;2\;2\;2\bigr]. Multiplicando por d_2=2:
\text{linha 2 de }X = 2\cdot\bigl[0\;1\;2\;2\;2\;2\bigr]=\bigl[0\;2\;4\;4\;4\;4\bigr].

Passo 6

  • Linha 3 de A: \bigl[0\;0\;1\;1\;1\;1\bigr]. Multiplicando por d_3=3:
\text{linha 3 de }X = 3\cdot\bigl[0\;0\;1\;1\;1\;1\bigr]=\bigl[0\;0\;3\;3\;3\;3\bigr].

Passo 7

  • Linha 4 de A: \bigl[0\;0\;0\;1\;-1\;-1\bigr]. Multiplicando por d_4=4:
\text{linha 4 de }X = 4\cdot\bigl[0\;0\;0\;1\;-1\;-1\bigr]=\bigl[0\;0\;0\;4\;-4\;-4\bigr].

Passo 8

  • Linha 5 de A: \bigl[0\;0\;0\;0\;1\;0\bigr]. Multiplicando por d_5=5:
\text{linha 5 de }X = 5\cdot\bigl[0\;0\;0\;0\;1\;0\bigr]=\bigl[0\;0\;0\;0\;5\;0\bigr].

Passo 9

  • Linha 6 de A: \bigl[0\;0\;0\;0\;0\;1\bigr]. Multiplicando por d_6=6:
\text{linha 6 de }X = 6\cdot\bigl[0\;0\;0\;0\;0\;1\bigr]=\bigl[0\;0\;0\;0\;0\;6\bigr].

Resposta

X=\left[\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\[4pt] 0 & 2 & 4 & 4 & 4 & 4 \\[4pt] 0 & 0 & 3 & 3 & 3 & 3 \\[4pt] 0 & 0 & 0 & 4 & -4 & -4 \\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \end{array}\right]]

Exercícios relacionados