Num grande lago coloca-se um bloco de gelo de 10 kg a 0^{\circ} \mathrm{C}. A temperatura é ligeiramente maior que 0^{\circ} \mathrm{C} e o gelo se funde. (a) Qual a variação de entropia do gelo? (b) Qual a variação de entropia do lago? (c) Qual a variação de entropia do universo?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas claras:
  • Dados fornecidos: \text{massa do gelo } m = 10\\ \mathrm{kg}
\text{o gelo está a } 0^\circ\mathrm{C}á
\text{a temperatura do lago é ligeiramente maior que }0^\circ\mathrm{C}é
\text{calor latente de fusão do gelo } L_f \text{ (valor usado)} = 3,34\times10^{5}\\ \mathrm{J/kg}ã
\text{temperatura de fusão } T_f = 0^\circ\mathrm{C} = 273{,}15\\ \mathrm{K}ã
  • Perguntas que o enunciado faz:
    (a) Qual a variação de entropia do gelo?
    (b) Qual a variação de entropia do lago?
    (c) Qual a variação de entropia do universo?
Observação: o enunciado diz “ligeiramente maior” para a temperatura do lago; vou chamar essa temperatura de T_L (com T_L>T_f). Onde necessário, farei também uma estimativa numérica exemplificando com \Delta T=T_L-T_f=1\\ \mathrm{K} para dar uma ordem de grandeza.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática):
  • Entropia: para um processo onde um corpo troca um pequeno calor reversível \delta Q_{\text{rev}} a temperatura T, a variação infinitesimal de entropia é dS=\dfrac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}.
  • Se a troca de calor ocorre a temperatura constante T (caso do gelo durante a fusão a 0^\circ\mathrm{C}), a variação de entropia é: \Delta S=\frac{Q_{\text{rev}}}{T}.
  • Aqui Q_{\text{rev}} é o calor absorvido pelo sistema de interesse (positivo se recebido pelo sistema) e T é a temperatura absoluta (em kelvin) onde a troca ocorre.
Vou aplicar isso explicitamente a cada parte do problema.

Passo 3

(a) Variação de entropia do gelo.
  • O gelo (sistema) absorve o calor necessário para fundir-se: o calor é Q_{\text{gelo}} = m\,L_f.Substituindo os valores: Q_{\text{gelo}} = 10\cdot 3,34\times10^{5} = 3,34\times10^{6}\\ \mathrm{J}.
  • A fusão ocorre a temperatura constante T_f=273{,}15\\ \mathrm{K}, logo a variação de entropia do gelo é \Delta S_{\text{gelo}}=\frac{Q_{\text{gelo}}}{T_f}=\frac{mL_f}{T_f}.
  • Fazendo as contas passo a passo: \Delta S_{\text{gelo}}=\frac{3,34\times10^{6}}{273{,}15}\\ \mathrm{J/K}.Dividindo: \Delta S_{\text{gelo}}\approx 1,223\times10^{4}\\ \mathrm{J/K}.
  • Interpretação rápida: o gelo ganha entropia porque passa de sólido para líquido (mais desordem) ao absorver calor.

Passo 4

(b) Variação de entropia do lago.
  • O lago fornece o calor que faz o gelo fundir. Assim, o calor perdido pelo lago é Q_{\text{lago}} = -Q_{\text{gelo}} = -mL_f.O sinal negativo indica perda de energia pelo lago.
  • O lago é grande e sua temperatura muda muito pouco; podemos tratá‑lo como um reservatório à temperatura constante T_L (dado no enunciado como “ligeiramente maior que 0^\circ\mathrm{C}”), portanto a variação de entropia do lago é \Delta S_{\text{lago}}=\frac{Q_{\text{lago}}}{T_L}=-\frac{mL_f}{T_L}.
  • Esta é a expressão geral. Se por alguma razão o lago tivesse exatamente T_L=T_f, então numericamente seria \Delta S_{\text{lago}}=-\frac{3,34\times10^{6}}{273{,}15}\approx -1,223\times10^{4}\\ \mathrm{J/K}.Mas como o enunciado diz “ligeiramente maior”, o valor real de \Delta S_{\text{lago}} tem magnitude um pouco menor (em módulo) do que 1,223\times10^{4}\\ \mathrm{J/K}; por exemplo, para T_L=274\\ \mathrm{K}, \Delta S_{\text{lago}}=-\frac{3,34\times10^{6}}{274}\approx -1,219\times10^{4}\\ \mathrm{J/K}.

Passo 5

(c) Variação de entropia do universo (sistema = gelo + lago).
  • A variação total de entropia é a soma das duas: \Delta S_{\text{universo}}=\Delta S_{\text{gelo}}+\Delta S_{\text{lago}}=mL_f\!\left(\frac{1}{T_f}-\frac{1}{T_L}\right).
  • Observação sobre o sinal: como T_L>T_f, temos \dfrac{1}{T_f}-\dfrac{1}{T_L}>0. Portanto \Delta S_{\text{universo}}>0,isto é, a entropia do universo aumenta — processo irreversível, coerente com a Segunda Lei.
  • Podemos linearizar para pequena diferença \Delta T=T_L-T_f (caso “ligeiramente maior”) usando uma aproximação de primeira ordem: \frac{1}{T_f}-\frac{1}{T_L}\approx\frac{\Delta T}{T_f^2}\quad(\text{para }\Delta T\ll T_f).Assim \Delta S_{\text{universo}}\approx mL_f\frac{\Delta T}{T_f^2}.
  • Estimativa numérica para dar ideia da ordem de grandeza: se \Delta T=1\\ \mathrm{K}, \Delta S_{\text{universo}}\approx \frac{3,34\times10^{6}\cdot 1}{(273{,}15)^2}\\ \mathrm{J/K}\approx 3,8\times10^{1}\\ \mathrm{J/K}.Ou seja, cerca de 38\\ \mathrm{J/K} — pequeno em comparação com as variações individuais, mas positivo.

Resposta

(a) \Delta S_{\text{gelo}}=\dfrac{mL_f}{T_f}=\dfrac{3,34\times10^{6}}{273{,}15}\approx 1,223\times10^{4}\\ \mathrm{J/K}.
(b) \Delta S_{\text{lago}}=-\dfrac{mL_f}{T_L}=-\dfrac{3,34\times10^{6}}{T_L} (por exemplo, para T_L=274\\ \mathrm{K}, \Delta S_{\text{lago}}\approx -1,219\times10^{4}\\ \mathrm{J/K}).
(c) \Delta S_{\text{universo}}=mL_f\!\left(\dfrac{1}{T_f}-\dfrac{1}{T_L}\right)>0. Em aproximação para \Delta T=1\\ \mathrm{K}, \Delta S_{\text{universo}}\approx 3,8\times10^{1}\\ \mathrm{J/K}.

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