O que provoca maior aumento no rendimento de uma máquina de Carnot, uma elevação de 5 K na temperatura do reservatório quente ou uma diminuição de 5 K da temperatura do reservatório frio?

Passo 1

O que o enunciado pede: comparar qual das duas ações provoca um maior aumento no rendimento de uma máquina de Carnot: (A) elevar a temperatura do reservatório quente em 5\\ \text{K} ou (B) diminuir a temperatura do reservatório frio em 5\\ \text{K}.
Informações dadas que vamos usar: a variação é de +5\\ \text{K} em T_h (reservatório quente) ou -5\\ \text{K} em T_c (reservatório frio). Não foram dados valores numéricos iniciais para T_h e T_c, então trataremos o problema de forma geral em função de T_h e T_c. Importante: as temperaturas devem ser consideradas em kelvin ( \text{K}).

Passo 2

Fórmula fundamental (explicação didática): o rendimento máximo de uma máquina de Carnot depende apenas das temperaturas absolutas dos reservatórios e é dado por
\eta = 1 - \frac{T_c}{T_h}.
Aqui \eta é o rendimento (fração da energia térmica convertida em trabalho), T_h é a temperatura do reservatório quente em kelvin e T_c é a temperatura do reservatório frio em kelvin. Usamos kelvin porque o rendimento envolve razões entre temperaturas absolutas; diferenças em graus Celsius não são válidas para essa fórmula direta.

Passo 3

Calcular o aumento do rendimento quando aumentamos T_h em 5\\ \text{K} (mantendo T_c fixo). Seja T_h' = T_h + 5. O novo rendimento é
\eta'_{h} = 1 - \frac{T_c}{T_h+5}.
A variação do rendimento causada por esse aumento é
\Delta\eta_{h} = \eta'_{h} - \eta = \left(1 - \frac{T_c}{T_h+5}\right) - \left(1 - \frac{T_c}{T_h}\right) = T_c\!\left(\frac{1}{T_h} - \frac{1}{T_h+5}\right).
Simplificando a diferença de recíprocos:
\Delta\eta_{h} = T_c\cdot\frac{5}{T_h(T_h+5)}.
Interpretação: o ganho ao aumentar T_h depende de T_c e de T_h por essa expressão racional.

Passo 4

Calcular o aumento do rendimento quando diminuímos T_c em 5\\ \text{K} (mantendo T_h fixo). Seja T_c' = T_c - 5. O novo rendimento é
\eta'_{c} = 1 - \frac{T_c-5}{T_h}.
A variação do rendimento causada por essa diminuição é
\Delta\eta_{c} = \eta'_{c} - \eta = \left(1 - \frac{T_c-5}{T_h}\right) - \left(1 - \frac{T_c}{T_h}\right) = \frac{5}{T_h}.
Interpretação: o ganho ao diminuir T_c é simplesmente \displaystyle \frac{5}{T_h}, não dependendo diretamente de T_c (apenas de T_h).

Passo 5

Comparar as duas variações. Temos
\Delta\eta_{h} = T_c\cdot\frac{5}{T_h(T_h+5)} \qquad\text{e}\qquad \Delta\eta_{c} = \frac{5}{T_h}.
Dividindo ambos os lados de interesse por \dfrac{5}{T_h} (quantidade positiva), obtemos a comparação equivalente
\frac{\Delta\eta_{h}}{\Delta\eta_{c}} = \frac{T_c}{T_h+5}.
Como sempre, para uma máquina de Carnot fisicamente realizável, T_c < T_h. Portanto
\frac{T_c}{T_h+5} < 1,
logo
\Delta\eta_{h} < \Delta\eta_{c}.
Conclusão matemática: diminuir T_c em 5\\ \text{K} produz um aumento do rendimento maior do que aumentar T_h em 5\\ \text{K}, para quaisquer temperaturas iniciais positivas que satisfaçam T_c<T_h.

Passo 6

Interpretação física e intuição (didática): a eficiência de Carnot depende de \dfrac{T_c}{T_h}. Diminuir T_c por uma quantidade fixa reduz diretamente essa razão por \dfrac{5}{T_h}. Aumentar T_h por uma quantidade fixa reduz a razão T_c/T_h de forma menos eficaz porque T_h aparece no denominador e o efeito da pequena adição de 5\\ \text{K} é amortecido por T_h+5. Em termos práticos: baixar a temperatura do frio melhora a “diferença relativa” entre quente e frio de forma mais eficiente do que elevar um pouco a temperatura do quente.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para fixar: suponha T_h=500\\ \text{K} e T_c=300\\ \text{K}. Então
\Delta\eta_{h}=300\cdot\frac{5}{500\cdot505}\approx 0{,}00594\quad(\text{ou }0{,}594\%),
enquanto
\Delta\eta_{c}=\frac{5}{500}=0{,}01\quad(\text{ou }1{,}00\%).
Vê-se claramente que a diminuição de T_c dá ganho maior. Observação prática: claro que T_c-5 deve continuar sendo fisicamente possível (maior ou igual a 0\\ \text{K}, e dentro das limitações tecnológicas).

Resposta

A diminuição de 5\\ \text{K} da temperatura do reservatório frio provoca maior aumento no rendimento.

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