O que provoca maior aumento no rendimento de uma máquina de Carnot, uma elevação de 5 K na temperatura do reservatório quente ou uma diminuição de 5 K da temperatura do reservatório frio?
Passo 1
O que o enunciado pede: comparar qual das duas ações provoca um maior aumento no rendimento de uma máquina de Carnot: (A) elevar a temperatura do reservatório quente em
ou (B) diminuir a temperatura do reservatório frio em
.
Informações dadas que vamos usar: a variação é de em
(reservatório quente) ou
em
(reservatório frio). Não foram dados valores numéricos iniciais para
e
, então trataremos o problema de forma geral em função de
e
. Importante: as temperaturas devem ser consideradas em kelvin (
).
Informações dadas que vamos usar: a variação é de
Passo 2
Fórmula fundamental (explicação didática): o rendimento máximo de uma máquina de Carnot depende apenas das temperaturas absolutas dos reservatórios e é dado por
Aqui
é o rendimento (fração da energia térmica convertida em trabalho),
é a temperatura do reservatório quente em kelvin e
é a temperatura do reservatório frio em kelvin. Usamos kelvin porque o rendimento envolve razões entre temperaturas absolutas; diferenças em graus Celsius não são válidas para essa fórmula direta.
Passo 3
Calcular o aumento do rendimento quando aumentamos
em
(mantendo
fixo). Seja
. O novo rendimento é
A variação do rendimento causada por esse aumento é
Simplificando a diferença de recíprocos:
Interpretação: o ganho ao aumentar
depende de
e de
por essa expressão racional.
Passo 4
Calcular o aumento do rendimento quando diminuímos
em
(mantendo
fixo). Seja
. O novo rendimento é
A variação do rendimento causada por essa diminuição é
Interpretação: o ganho ao diminuir
é simplesmente
, não dependendo diretamente de
(apenas de
).
Passo 5
Comparar as duas variações. Temos
Dividindo ambos os lados de interesse por
(quantidade positiva), obtemos a comparação equivalente
Como sempre, para uma máquina de Carnot fisicamente realizável,
. Portanto
logo
Conclusão matemática: diminuir
em
produz um aumento do rendimento maior do que aumentar
em
, para quaisquer temperaturas iniciais positivas que satisfaçam
.
Passo 6
Interpretação física e intuição (didática): a eficiência de Carnot depende de
. Diminuir
por uma quantidade fixa reduz diretamente essa razão por
. Aumentar
por uma quantidade fixa reduz a razão
de forma menos eficaz porque
aparece no denominador e o efeito da pequena adição de
é amortecido por
. Em termos práticos: baixar a temperatura do frio melhora a “diferença relativa” entre quente e frio de forma mais eficiente do que elevar um pouco a temperatura do quente.
Passo 7
Exemplo numérico rápido para fixar: suponha
e
. Então
enquanto
Vê-se claramente que a diminuição de
dá ganho maior. Observação prática: claro que
deve continuar sendo fisicamente possível (maior ou igual a
, e dentro das limitações tecnológicas).
Resposta
A diminuição de
da temperatura do reservatório frio provoca maior aumento no rendimento.