Um pedaço de gelo de 100 g a 0^{\circ} \mathrm{C} é colocado num recipiente isolado com 100 g de água a 100^{\circ} \mathrm{C}. (a) Qual a temperatura de equilíbrio? (b) Qual a variação de entropia do universo quando se atinge o equilíbrio térmico?

Passo 1

O enunciado dá um pedaço de gelo e água num recipiente isolado e pede duas coisas. Dados fornecidos (peguei tudo do enunciado):
m_{\text{gelo}}=100\\ \mathrm{g}=0{,}1\\ \mathrm{kg}, \qquad T_{\text{gelo, inicial}}=0^\circ\mathrm{C}=273{,}15\\ \mathrm{K},
m_{\text{água quente}}=100\\ \mathrm{g}=0{,}1\\ \mathrm{kg}, \qquad T_{\text{água, inicial}}=100^\circ\mathrm{C}=373{,}15\\ \mathrm{K},áá
recipiente isolado (não há troca de calor com o exterior).
Perguntas:
(a) Qual a temperatura de equilíbrio T_f?
(b) Qual a variação de entropia do universo (Sistema isolado = soma das variações de entropia das duas porções) ao atingir o equilíbrio térmico?

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas passo a passo):
  • Conservação de energia (primeira lei da termodinâmica, para processo isolado): o calor perdido pela água quente é igual ao calor ganho pelo gelo (incluindo calor de fusão e aquecimento do que derrete).
  • Calor sensível para corpo com calor específico constante:
\delta Q = m c\, dT \quad\Rightarrow\quad Q = m c (T_2-T_1),
onde m é massa, c é calor específico (energia necessária por unidade de massa por unidade de temperatura) e T_1,T_2 são temperaturas inicial e final em Kelvin.
  • Calor latente de fusão (quando ocorre mudança de fase a temperatura constante T_m):
Q_{\text{fusão}}=m L_f,ã
onde L_f é o calor latente de fusão (energia por massa para fundir o gelo).
  • Valores numéricos usados (típicos e suficientes para a prova):
c_{\text{água}}=4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}, \qquad L_f=334000\\ \mathrm{J/kg}.á
  • Entropia: mudança de entropia em processo reversível é \mathrm{d}S=\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}. Para aquecimento/cooling com c constante:
\Delta S = m c \ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right).
Para fusão isoterma a T_m:
\Delta S_{\text{fusão}}=\frac{m L_f}{T_m}.ã
Observação: temperaturas no cálculo de entropia devem estar em Kelvin.

Passo 3

Montando a equação de conservação de energia (tudo em J, temperaturas em K). Denotando T_f a temperatura final de equilíbrio em K, temos:
  • Calor cedido pela água quente ao esfriar de T_{\text{água, inicial}}=373{,}15\\ \mathrm{K}á para T_f:
Q_{\text{perdido}}=m_{\text{água}}\, c_{\text{água}}(373{,}15-T_f).áá
  • Calor necessário para o gelo: primeiro fundir o gelo a 273{,}15\\ \mathrm{K} e depois aquecer a água resultante de 273{,}15\\ \mathrm{K} para T_f:
Q_{\text{ganho}}=m_{\text{gelo}}L_f + m_{\text{gelo}}\, c_{\text{água}}(T_f-273{,}15).á
Igualando:
m_{\text{água}}\, c_{\text{água}}(373{,}15-T_f)=m_{\text{gelo}}L_f + m_{\text{gelo}}\, c_{\text{água}}(T_f-273{,}15).ááá

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos. Como m_{\text{água}}=m_{\text{gelo}}=0{,}1\\ \mathrm{kg}á e m c =0{,}1\cdot 4186=418{,}6\\ \mathrm{J/K}, a equação fica
418{,}6\,(373{,}15-T_f)=33400 + 418{,}6\,(T_f-273{,}15).
Resolvendo:
418{,}6\cdot 373{,}15 - 418{,}6\,T_f = 33400 + 418{,}6\,T_f - 418{,}6\cdot 273{,}15.
Reorganizando termos:
418{,}6\cdot 373{,}15 + 418{,}6\cdot 273{,}15 - 33400 = 837{,}2\,T_f.
Cálculo numérico (mostrando conta):
418{,}6\cdot 373{,}15 \approx 156200{,}59\\ \mathrm{J},
418{,}6\cdot 273{,}15 \approx 114340{,}59\\ \mathrm{J},
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156200{,}59 - 33400 + 114340{,}59 = 237141{,}18 = 837{,}2\,T_f.
Portanto
T_f=\frac{237141{,}18}{837{,}2}\approx 283{,}255\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Interpretando o resultado em Celsius e concluindo a parte (a):
T_f \approx 283{,}255\\ \mathrm{K}=283{,}255-273{,}15\approx 10{,}10^\circ\mathrm{C}.
Portanto a temperatura de equilíbrio é aproximadamente 10{,}1^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Agora calculamos a variação de entropia de cada parte e somamos (universo = sistema isolado = as duas porções).
  1. Água quente (resfria de 373{,}15\\ \mathrm{K} para T_f): usando
\Delta S_{\text{água quente}}=m_{\text{água}} c \ln\!\left(\frac{T_f}{373{,}15}\right).áá
Substituindo m c=418{,}6\\ \mathrm{J/K} e T_f=283{,}255\\ \mathrm{K}:
\Delta S_{\text{água quente}}=418{,}6\ln\!\left(\frac{283{,}255}{373{,}15}\right).á
Calculando o logaritmo:
\ln\!\left(\frac{283{,}255}{373{,}15}\right)\approx \ln(0{,}75879)\approx -0{,}27648,
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\Delta S_{\text{água quente}}\approx 418{,}6\times(-0{,}27648)\approx -115{,}75\\ \mathrm{J/K}.á

Passo 7

  1. Gelo: dois contributions — fusão isoterma a 273{,}15\\ \mathrm{K} e aquecimento da água resultante de 273{,}15\\ \mathrm{K} para T_f.
  • Entropia da fusão:
\Delta S_{\text{fusão}}=\frac{m_{\text{gelo}} L_f}{273{,}15}=\frac{0{,}1\times 334000}{273{,}15}.ã
Cálculo:
\Delta S_{\text{fusão}}\approx\frac{33400}{273{,}15}\approx 122{,}31\\ \mathrm{J/K}.ã
  • Entropia do aquecimento da água (após fusão) de 273{,}15 para T_f:
\Delta S_{\text{aquec, pós-fusão}}=m_{\text{gelo}} c \ln\!\left(\frac{T_f}{273{,}15}\right)=418{,}6\ln\!\left(\frac{283{,}255}{273{,}15}\right).óã
Calculando o logaritmo:
\ln\!\left(\frac{283{,}255}{273{,}15}\right)\approx \ln(1{,}03701)\approx 0{,}03633,
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\Delta S_{\text{aquec, pós-fusão}}\approx 418{,}6\times 0{,}03633\approx 15{,}22\\ \mathrm{J/K}.óã
Somando para o gelo:
\Delta S_{\text{gelo}}=\Delta S_{\text{fusão}}+\Delta S_{\text{aquec, pós-fusão}}\approx 122{,}31+15{,}22=137{,}53\\ \mathrm{J/K}.ãóã

Passo 8

Soma das variações de entropia (universo):
\Delta S_{\text{uni}}=\Delta S_{\text{água quente}}+\Delta S_{\text{gelo}}\approx -115{,}75 + 137{,}53 = 21{,}78\\ \mathrm{J/K}.á
Resultado positivo, como esperado (processo espontâneo irreversível gerar aumento de entropia).

Resposta

T_f \approx 10{,}1^\circ\mathrm{C}
\Delta S_{\text{universo}} \approx 21{,}8\\ \mathrm{J/K}

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