Numa granja de frangos, o abastecimento de ração é automático. A ração está num reservatório que tem a forma de uma pirâmide de base quadrada com 2 m de lado e 6 m de altura, cujo vértice está voltado para baixo. Se o consumo de ração é de 0,05 m^3 / h, com que velocidade desce o nível de ração quando este está a 2 m do vértice?

Passo 1

O enunciado descreve um reservatório em forma de pirâmide quadrangular invertida de base 2 m e altura 6 m, cujo nível de ração desce à taxa dVdt=-0,05 m^3/h. Precisamos usar semelhança de triângulos e a fórmula do volume de uma pirâmide para encontrar dhdt quando h=2 m, onde h é a altura da ração medida a partir do vértice.

Passo 2

Em um nível de ração h, a aresta da seção quadrada vale, por semelhança,
s = aresta totala<ura total,h = 26,h = h3

Passo 3

O volume da pirâmide em função de h é
V = 13,s^2,h = 13gl(h3gr)^2 h = h^327

Passo 4

Derivando em relação ao tempo t,
dVdt = ddtl(h^327r) = 3h^227,dhdt = h^29,dhdt

Passo 5

Isolando dhdt,
dhdt = 9h^2,dVdt

Passo 6

Substituindo h=2 m e dVdt=-0,05 m^3/h,
dhdt = 92^2,(-0,05) = 94times(-0,05) = -0,1125 m/h

Resposta

A altura da ração está decrescendo à taxa de -0,1125 m/h quando h=2 m.

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