Um granjeiro deseja construir um galinheiro com formato retangular, usando como um dos lados uma parede de sua casa. Calcule:
Quais as dimensões que devem ser utilizadas para que a área seja maxima, sabendo-se que ele pretende usar 20 m de cerca?
Parede
Quais as dimensões que devem ser utilizadas para que a área seja maxima, sabendo-se que ele pretende usar 20 m de cerca?
Parede | |
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Passo 1
O enunciado diz que queremos cercar um terreno retangular apoiado numa parede, usando
m de cerca nos três lados livres. O objetivo é escolher as dimensões para que a área seja máxima. O conteúdo aqui é otimização de função pela derivada, com restrição de perímetro.
Passo 2
Definimos:
= profundidade (lados perpendiculares à parede)
= comprimento paralelo à parede
Como só usamos cerca em dois trechos de comprimento e um de comprimento
, a restrição do perímetro é
Como só usamos cerca em dois trechos de comprimento
Dessa equação, isolamos
:
Passo 3
A área do retângulo é
Substituindo
:
Passo 4
Para maximizar
, calculamos a derivada e igualamos a zero:
Passo 5
Com
, obtemos
A área máxima é
Resposta
A profundidade deve ser
m e o comprimento paralelo à parede
m, garantindo área máxima de
.