Um granjeiro deseja construir um galinheiro com formato retangular, usando como um dos lados uma parede de sua casa. Calcule:
Quais as dimensões que devem ser utilizadas para que a área seja maxima, sabendo-se que ele pretende usar 20 m de cerca?
Parede
y
x y

Passo 1

O enunciado diz que queremos cercar um terreno retangular apoiado numa parede, usando 20 m de cerca nos três lados livres. O objetivo é escolher as dimensões para que a área seja máxima. O conteúdo aqui é otimização de função pela derivada, com restrição de perímetro.

Passo 2

Definimos: \,x = profundidade (lados perpendiculares à parede) \,y = comprimento paralelo à parede
Como só usamos cerca em dois trechos de comprimento x e um de comprimento y, a restrição do perímetro é
2x + y = 20.
Dessa equação, isolamos y:
y = 20 - 2x.

Passo 3

A área do retângulo é
A = x \cdot y.
Substituindo y:
A(x) = x\,(20 - 2x) = 20x - 2x^2.

Passo 4

Para maximizar A(x), calculamos a derivada e igualamos a zero:
A'(x) = 20 - 4x,
20 - 4x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 5\text{ m}.

Passo 5

Com x = 5, obtemos
y = 20 - 2\cdot5 = 10\text{ m}.
A área máxima é
A_{\max} = 5 \times 10 = 50\text{ m}^2.

Resposta

A profundidade deve ser x = 5 m e o comprimento paralelo à parede y = 10 m, garantindo área máxima de 50 m^{2}.

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