Dê o grau e a ordem das equações diferenciais:
  1. partial^2 zpartial y^2=k^2 partial^2 zpartial x^2, z=z(x, y)
  2. [d^2 yd x^2]^3-5 d yd x=0, y=y(x)
  3. d^2 sd t^2+s cdot t d sd t=0, s=s(t)
  4. (y^prime prime)^2-3 y(y^prime)^5+x y=0, y=y(x)
  5. y^prime prime prime-3(y^prime)^2+x=0, y=y(x)
  6. 3 s^prime+s^2=0, s=s(t)
  7. São dadas as equações diferenciais d xd y=x, y^prime prime+(y^prime)^3+y=0 e (y^prime prime)^3+(y^prime)^5=x.

Passo 1

Temos várias equações diferenciais (PDE e ODE) numeradas de 1 a 7, e a missão é encontrar, para cada uma, a ordem (a maior derivada que aparece) e o grau (o expoente dessa derivada na forma polinomial). Vamos usar o conceito de ordem e grau de EDO/EQD.
A ordem de uma equação diferencial é o maior número de diferenciações que aparece (por exemplo, primeira, segunda derivada etc.). O grau é o expoente em que essa derivada de maior ordem aparece quando a equação é expressa como polinômio nas derivadas, sem envolver raízes ou funções transcendentes das derivadas.

Passo 2

Na equação partial^2 zpartial y^2 = k^2partial^2 zpartial x^2, só aparecem derivadas de segunda ordem e cada uma está elevada à potência 1. Logo, ordem = 2 e grau = 1.

Passo 3

Em l(d^2ydx^2r)^3 - 5dydx = 0 a maior derivada é a segunda e ela aparece elevada ao cubo. Então ordem = 2 e grau = 3.

Passo 4

Na equação d^2sdt^2 + s,tdsdt = 0 a derivada mais alta é a segunda e aparece em grau 1 (é polinomial em s'' e s'). Logo ordem = 2 e grau = 1.

Passo 5

Em (y'')^2 - 3y(y')^5 + xy = 0 o termo dominante em derivadas é (y'')^2. A ordem é 2 e, como y'' está ao quadrado, o grau = 2.

Passo 6

Na equação y''' - 3(y')^2 + x = 0 a derivada de maior ordem é a terceira e ela aparece em potência 1, de forma polinomial. Logo ordem = 3 e grau = 1.

Passo 7

Em 3s' + s^2 = 0 a maior derivada é a primeira e aparece em grau 1. Então ordem = 1 e grau = 1.

Passo 8

Para dxdy = x a derivada de maior ordem é a primeira e aparece em grau 1. Assim, ordem = 1 e grau = 1.

Passo 9

Na equação y'' + (y')^3 + y = 0 a maior derivada é a segunda, e o termo (y')^3 revela que o grau é 3. Portanto ordem = 2 e grau = 3.

Passo 10

Em (y'')^3 + (y')^5 = x a maior derivada é a segunda, aparece elevada ao cubo e o termo (y')^5 não muda a maior ordem, só o grau. Grau = 3 e ordem = 2.

Passo 11

Agora já temos ordem e grau para cada equação, basta reunir os resultados.

Resposta

  1. ordem 2 e grau 1
  2. ordem 2 e grau 3
  3. ordem 2 e grau 1
  4. ordem 2 e grau 2
  5. ordem 3 e grau 1
  6. ordem 1 e grau 1
    7a) dx/dy = x: ordem 1 e grau 1
    7b) y'' + (y')^3 + y = 0: ordem 2 e grau 3
    7c) (y'')^3 + (y')^5 = x: ordem 2 e grau 3

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