Gravitação:
a) Explique o que é a força gravitacional, expressando-a matematicamente e informando o que significa cada termo;
b) Mostre que a força gravitacional é uma força conservativa;
c) Um satélite em órbita equatorial circular permanece acima do mesmo ponto do equador da Terra a o longo de toda a órbita. Qual é a altitude da órbita (que recebe o nome de órbita geoestacionária)?.
a) Explique o que é a força gravitacional, expressando-a matematicamente e informando o que significa cada termo;
b) Mostre que a força gravitacional é uma força conservativa;
c) Um satélite em órbita equatorial circular permanece acima do mesmo ponto do equador da Terra a o longo de toda a órbita. Qual é a altitude da órbita (que recebe o nome de órbita geoestacionária)?.
Passo 1
O enunciado faz três perguntas claras:
- (a) O que é a força gravitacional, expressa matematicamente e com explicação de cada termo.
- (b) Mostrar que a força gravitacional é uma força conservativa.
- (c) Calcular a altitude de uma órbita geoestacionária (satélite que fica acima do mesmo ponto do equador).
Informações e constantes que serão usadas (valores padrão conhecidos):
- Constante de gravitação universal:
. - Massa da Terra:
. - Raio médio da Terra:
. - Período de rotação da Terra a considerar para órbita geoestacionária: período sideral
(um dia sideral). - Produto gravitacional padrão da Terra (usado frequentemente):
.
Nada mais foi dado pelo enunciado, portanto vou usar esses valores padrão para obter a altitude numérica da parte (c).
Passo 2
(a) Definição matemática da força gravitacional e explicação dos termos.
A lei da gravitação universal de Newton, na forma vetorial, diz que a força exercida pela massa
sobre a massa
separadas por uma distância
é
Explicando cada símbolo, com calma:
-
é o vetor força que a massa exerce sobre a massa . Ele tem direção radial (na linha que une os centros das massas). -
é a constante de gravitação universal; vale . -
e são as massas dos dois corpos envolvidos (por exemplo, Terra e satélite). -
é a distância entre os centros de massa de e (um escalar maior que zero). -
é o versor unitário que aponta do corpo que exerce a força (aqui tomamos como origem o corpo ) para o corpo . Como a força é atrativa, há um sinal negativo: a força aponta no sentido oposto a , ou seja, em direção ao centro do corpo . - A forma escalar (módulo) da força é
.
Interpretação física curta e intuitiva: corpos com massa atraem-se com uma força cujo módulo decresce com o quadrado da distância. O sinal negativo na forma vetorial indica que a direção da força é sempre apontando para dentro (para o centro da massa que atrai).
Passo 3
(b) Mostrar que a força gravitacional é conservativa — explicação didática passo a passo.
Definição prática de força conservativa (linguagem leve): uma força é conservativa se o trabalho realizado por ela ao mover um corpo entre dois pontos independe do caminho percorrido; equivalente a dizer que o trabalho ao longo de qualquer caminho fechado é zero. Outra caracterização útil: existe uma função energia potencial
tal que
.
Para a força gravitacional radial, vou encontrar explicitamente uma função potencial
e mostrar que
.
- Trabalho diferencial feito por
ao deslocar o corpo por um diferencial de posição é
Se o deslocamento é radial (ou se projetarmos qualquer deslocamento em componente radial), então
, e com
obtemos
- Definimos a energia potencial gravitacional escolhendo
(convenção comum). A diferença de energia potencial entre o ponto em e o infinito é
Substituindo o produto escalar radial:
Calcule a integral:
Portanto
- Agora verificamos que
. Em coordenadas radiais (onde depende só de ), o gradiente é . Calculando a derivada:
Logo
que é exatamente a força gravitacional.
- Conclusão prática: existe
tal que . Assim a força é conservativa. Consequências úteis (que valem em provas): o trabalho entre dois pontos independe do caminho e o trabalho sobre um ciclo fechado é zero.
Observação alternativa (mais formal): fora do ponto
, o rotacional é nulo,
, o que também caracteriza forças conservativas em domínios simplesmente conexos; aqui usamos a existência explícita do potencial para ser mais concreto.
Passo 4
(c) Altitude da órbita geoestacionária — ideia e equações fundamentais.
Intuição rápida: um satélite em órbita circular de raio
sofre atração gravitacional que fornece a aceleração centrípeta necessária para mantê-lo na órbita. Para que o satélite permaneça estacionário em relação à superfície da Terra (permaneça sobre o mesmo ponto do equador), seu período orbital tem de coincidir com o período de rotação da Terra
(período sideral). Para órbita circular equatorial, equacionamos:
-
A aceleração centrípeta exigida é
, onde é a velocidade angular do satélite. Como , podemos também escrever . -
A aceleração gravitacional na distância
do centro da Terra é .
Para uma órbita circular em equilíbrio:
Isolando
:
Essa é a forma que lembra a terceira lei de Kepler; agora basta calcular
e então a altitude
sobre a superfície da Terra:
Passo 5
(c) Cálculo numérico detalhado (faça com calma na prova, passo a passo):
Usando
e
,
- Calcule
:
- Calcule o numerador
:
(Nota: mostrar o produto intermediário na prova é suficiente; use calculadora se permitida ou faça em notação científica com cuidado.)
- Divida por
( ):
- Tire a raiz cúbica:
- Altitude acima da superfície da Terra:
Convertendo para quilômetros:
Interpretação: a órbita geoestacionária fica a cerca de
mil km acima da superfície da Terra (raio orbital cerca de
mil km a partir do centro da Terra). Esse é o valor clássico usado em comunicações por satélite.
Passo 6
Recapitulando de forma encorajadora: a) a força gravitacional é dada por
e cada termo foi explicado; b) ela é conservativa porque existe o potencial
com
; c) a altitude geoestacionária é aproximadamente
. Se quiser, posso refazer os cálculos com outros valores de
,
ou
que seu professor usar, ou mostrar a dedução por outro método (por exemplo usando
diretamente em vez de
).
Resposta
(a)
(b) Sim. A energia potencial é e
, portanto a força é conservativa.
(c)
(b) Sim. A energia potencial é
(c)