Gravitação:
a) Explique o que é a força gravitacional, expressando-a matematicamente e informando o que significa cada termo;
b) Mostre que a força gravitacional é uma força conservativa;
c) Um satélite em órbita equatorial circular permanece acima do mesmo ponto do equador da Terra a o longo de toda a órbita. Qual é a altitude da órbita (que recebe o nome de órbita geoestacionária)?.

Passo 1

O enunciado faz três perguntas claras:
  • (a) O que é a força gravitacional, expressa matematicamente e com explicação de cada termo.
  • (b) Mostrar que a força gravitacional é uma força conservativa.
  • (c) Calcular a altitude de uma órbita geoestacionária (satélite que fica acima do mesmo ponto do equador).
Informações e constantes que serão usadas (valores padrão conhecidos):
  • Constante de gravitação universal: G = 6{,}67430\times10^{-11}\\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}.
  • Massa da Terra: M_{\mathrm{T}} = 5{,}972\times10^{24}\\ \mathrm{kg}.
  • Raio médio da Terra: R_{\mathrm{T}} = 6{,}371\times10^{6}\\ \mathrm{m}.
  • Período de rotação da Terra a considerar para órbita geoestacionária: período sideral T = 86\,164\\ \mathrm{s} (um dia sideral).
  • Produto gravitacional padrão da Terra (usado frequentemente): \mu = G M_{\mathrm{T}} \approx 3{,}986004418\times10^{14}\\ \mathrm{m^3\,s^{-2}}.
Nada mais foi dado pelo enunciado, portanto vou usar esses valores padrão para obter a altitude numérica da parte (c).

Passo 2

(a) Definição matemática da força gravitacional e explicação dos termos.
A lei da gravitação universal de Newton, na forma vetorial, diz que a força exercida pela massa M sobre a massa m separadas por uma distância r é
\mathbf{F} = -G\,\frac{M\,m}{r^{2}}\,\hat{\mathbf r}.
Explicando cada símbolo, com calma:
  • \mathbf{F} é o vetor força que a massa M exerce sobre a massa m. Ele tem direção radial (na linha que une os centros das massas).
  • G é a constante de gravitação universal; vale 6{,}67430\times10^{-11}\\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}.
  • M e m são as massas dos dois corpos envolvidos (por exemplo, Terra e satélite).
  • r é a distância entre os centros de massa de M e m (um escalar maior que zero).
  • \hat{\mathbf r} é o versor unitário que aponta do corpo que exerce a força (aqui tomamos como origem o corpo M) para o corpo m. Como a força é atrativa, há um sinal negativo: a força aponta no sentido oposto a \hat{\mathbf r}, ou seja, em direção ao centro do corpo M.
  • A forma escalar (módulo) da força é \displaystyle F = G\frac{M m}{r^{2}}.
Interpretação física curta e intuitiva: corpos com massa atraem-se com uma força cujo módulo decresce com o quadrado da distância. O sinal negativo na forma vetorial indica que a direção da força é sempre apontando para dentro (para o centro da massa que atrai).

Passo 3

(b) Mostrar que a força gravitacional é conservativa — explicação didática passo a passo.
Definição prática de força conservativa (linguagem leve): uma força é conservativa se o trabalho realizado por ela ao mover um corpo entre dois pontos independe do caminho percorrido; equivalente a dizer que o trabalho ao longo de qualquer caminho fechado é zero. Outra caracterização útil: existe uma função energia potencial U(\mathbf r) tal que \mathbf F = -\nabla U.
Para a força gravitacional radial, vou encontrar explicitamente uma função potencial U(r) e mostrar que \mathbf F = -\nabla U.
  1. Trabalho diferencial feito por \mathbf F ao deslocar o corpo por um diferencial de posição d\mathbf r é
dW = \mathbf F\cdot d\mathbf r.
Se o deslocamento é radial (ou se projetarmos qualquer deslocamento em componente radial), então \hat{\mathbf r}\cdot d\mathbf r = dr, e com \mathbf F = -G\frac{M m}{r^{2}}\hat{\mathbf r} obtemos
\mathbf F\cdot d\mathbf r = -G\frac{M m}{r^{2}}\,dr.
  1. Definimos a energia potencial gravitacional escolhendo U(\infty)=0 (convenção comum). A diferença de energia potencial entre o ponto em r e o infinito é
U(r)-U(\infty) = -\int_{\infty}^{r} \mathbf F\cdot d\mathbf r.
Substituindo o produto escalar radial:
U(r) - 0 = -\int_{\infty}^{r} \left(-G\frac{M m}{r^{2}}\right)\,dr = G M m \int_{\infty}^{r} \frac{1}{r^{2}}\,dr.
Calcule a integral:
\int_{\infty}^{r} \frac{1}{r^{2}}\,dr = \left[ -\frac{1}{r}\right]_{\infty}^{r} = -\frac{1}{r} - 0 = -\frac{1}{r}.
Portanto
U(r) = -G\frac{M m}{r}.
  1. Agora verificamos que \mathbf F = -\nabla U. Em coordenadas radiais (onde U depende só de r), o gradiente é \nabla U = \dfrac{dU}{dr}\,\hat{\mathbf r}. Calculando a derivada:
\frac{dU}{dr} = -G M m \frac{d}{dr}\left(\frac{1}{r}\right) = -G M m \left(-\frac{1}{r^{2}}\right) = G\frac{M m}{r^{2}}.
Logo
-\nabla U = -\frac{dU}{dr}\,\hat{\mathbf r} = -\left(G\frac{M m}{r^{2}}\right)\hat{\mathbf r} = -G\frac{M m}{r^{2}}\,\hat{\mathbf r} = \mathbf F,
que é exatamente a força gravitacional.
  1. Conclusão prática: existe U(r)=-G M m/r tal que \mathbf F = -\nabla U. Assim a força é conservativa. Consequências úteis (que valem em provas): o trabalho entre dois pontos independe do caminho e o trabalho sobre um ciclo fechado é zero.
Observação alternativa (mais formal): fora do ponto r=0, o rotacional é nulo, \nabla\times\mathbf F = \mathbf 0, o que também caracteriza forças conservativas em domínios simplesmente conexos; aqui usamos a existência explícita do potencial para ser mais concreto.

Passo 4

(c) Altitude da órbita geoestacionária — ideia e equações fundamentais.
Intuição rápida: um satélite em órbita circular de raio r sofre atração gravitacional que fornece a aceleração centrípeta necessária para mantê-lo na órbita. Para que o satélite permaneça estacionário em relação à superfície da Terra (permaneça sobre o mesmo ponto do equador), seu período orbital tem de coincidir com o período de rotação da Terra T (período sideral). Para órbita circular equatorial, equacionamos:
  1. A aceleração centrípeta exigida é a_{\mathrm{c}} = \omega^{2} r, onde \omega é a velocidade angular do satélite. Como \omega = 2\pi/T, podemos também escrever a_{\mathrm{c}} = \dfrac{4\pi^{2}}{T^{2}} r.
  2. A aceleração gravitacional na distância r do centro da Terra é a_{\mathrm{g}} = G M_{\mathrm{T}} / r^{2}.
Para uma órbita circular em equilíbrio:
a_{\mathrm{g}} = a_{\mathrm{c}} \quad\Rightarrow\quad \frac{G M_{\mathrm{T}}}{r^{2}} = \omega^{2} r = \frac{4\pi^{2}}{T^{2}} r.
Isolando r:
r^{3} = \frac{G M_{\mathrm{T}} T^{2}}{4\pi^{2}}.
Essa é a forma que lembra a terceira lei de Kepler; agora basta calcular r e então a altitude h sobre a superfície da Terra:
h = r - R_{\mathrm{T}}.

Passo 5

(c) Cálculo numérico detalhado (faça com calma na prova, passo a passo):
Usando \mu = G M_{\mathrm{T}} \approx 3{,}986004418\times10^{14}\\ \mathrm{m^{3}\,s^{-2}} e T = 86\,164\\ \mathrm{s},
  1. Calcule T^{2}:
T^{2} = 86\,164^{2} = 7{,}424\,234\,896\\ \mathrm{s^{2}}.
  1. Calcule o numerador \mu T^{2}:
\mu T^{2} \approx \left(3{,}986004418\times10^{14}\right)\left(7{,}424\,234\,896\right) \approx 2{,}9586\times10^{24}\\ \mathrm{m^{3}}.
(Nota: mostrar o produto intermediário na prova é suficiente; use calculadora se permitida ou faça em notação científica com cuidado.)
  1. Divida por 4\pi^{2} ( 4\pi^{2}\approx 39{,}4784176):
r^{3} = \frac{\mu T^{2}}{4\pi^{2}} \approx \frac{2{,}9586\times10^{24}}{39{,}4784176} \approx 7{,}496\times10^{22}\\ \mathrm{m^{3}}.
  1. Tire a raiz cúbica:
r \approx \sqrt[3]{7{,}496\times10^{22}}\approx 4{,}2164\times10^{7}\\ \mathrm{m} \approx 42{,}164\\ \mathrm{km}.
  1. Altitude acima da superfície da Terra:
h = r - R_{\mathrm{T}} \approx 4{,}2164\times10^{7}\\ \mathrm{m} - 6{,}371\times10^{6}\\ \mathrm{m} \approx 3{,}5786\times10^{7}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para quilômetros:
h \approx 35{,}786\\ \mathrm{km}.
Interpretação: a órbita geoestacionária fica a cerca de 35{,}8 mil km acima da superfície da Terra (raio orbital cerca de 42{,}2 mil km a partir do centro da Terra). Esse é o valor clássico usado em comunicações por satélite.

Passo 6

Recapitulando de forma encorajadora: a) a força gravitacional é dada por \mathbf F = -G \dfrac{M m}{r^{2}}\hat{\mathbf r} e cada termo foi explicado; b) ela é conservativa porque existe o potencial U(r) = -G M m / r com \mathbf F = -\nabla U; c) a altitude geoestacionária é aproximadamente 35{,}786\\ \mathrm{km}. Se quiser, posso refazer os cálculos com outros valores de G, M_{\mathrm T} ou R_{\mathrm T} que seu professor usar, ou mostrar a dedução por outro método (por exemplo usando \omega diretamente em vez de T).

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{F} = -G\,\frac{M\,m}{r^{2}}\,\hat{\mathbf r}.
(b) Sim. A energia potencial é \displaystyle U(r) = -G\,\frac{M\,m}{r} e \displaystyle \mathbf{F}=-\nabla U, portanto a força é conservativa.
(c) \displaystyle h \approx 3{,}5786\times10^{7}\\ \mathrm{m}\approx 35{,}786\\ \mathrm{km}.

Exercícios relacionados