7^{\text {a }} Questão - A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada por \quad x=9,75+1,5 t^{2}, com x em centimetros e t em segundos. Considere o intervalo de tempo de t=2 \mathrm{~s} a t=3 \mathrm{~s} e calcule; (a) a velocidade média; (b) a velocidade instantânea em t=2s e em t=3s; (c) a velocidade instantânea quando a partícula estiver no ponto médio entre as posições para \mathrm{t}=2 \mathrm{~s} e \mathrm{t}=3 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado nos dá a posição da partícula ao longo do eixo x como função do tempo:
x(t)=9,75+1,5\,t^{2},
com x em centímetros e t em segundos. O intervalo de interesse é de t=2\\ \mathrm{s} até t=3\\ \mathrm{s}.
O que pede:
(a) calcular a velocidade média da partícula no intervalo de t=2\\ \mathrm{s} a t=3\\ \mathrm{s};
(b) calcular a velocidade instantânea em t=2\\ \mathrm{s} e em t=3\\ \mathrm{s};
(c) calcular a velocidade instantânea quando a partícula estiver no ponto médio entre as posições em t=2\\ \mathrm{s} e t=3\\ \mathrm{s}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão de x(t) foi fornecida (peguei do enunciado).
  • Unidade de x: centímetros.
  • Unidade de t: segundos.
  • Intervalo de tempo: t=2\\ \mathrm{s} a t=3\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Entender e usar a definição de velocidade média. A velocidade média em um intervalo de tempo [t_1,t_2] é a variação de posição dividida pelo intervalo de tempo:
\bar{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2-t_1}.
Aqui x(t_1) e x(t_2) são as posições nos instantes t_1 e t_2. Vou calcular primeiro x(2) e x(3).
Calcule x(2):
x(2)=9,75+1,5\cdot 2^{2}=9,75+1,5\cdot 4=9,75+6,00=15,75\\ \text{cm}.
Calcule x(3):
x(3)=9,75+1,5\cdot 3^{2}=9,75+1,5\cdot 9=9,75+13,50=23,25\\ \text{cm}.

Passo 3

Agora aplico a fórmula da velocidade média no intervalo t_1=2\\ \mathrm{s}, t_2=3\\ \mathrm{s}:
\bar{v}=\frac{x(3)-x(2)}{3-2}=\frac{23,25-15,75}{1}=7,50\\ \text{cm/s}.
Observação didática: a velocidade média é a inclinação da reta secante que liga os pontos (2,x(2)) e (3,x(3)) no gráfico x versus t.

Passo 4

Entender e usar a definição de velocidade instantânea. A velocidade instantânea v(t) é a derivada de x(t) em relação a t:
v(t)=\frac{dx}{dt}.
Explicando a derivada de forma prática: a derivada dá a taxa de variação instantânea — a inclinação da tangente ao gráfico x(t) naquele instante.
Derivo x(t)=9,75+1,5\,t^{2}. A derivada de uma constante é zero; a derivada de 1,5\,t^{2} é 2\cdot 1,5\,t. Portanto:
v(t)=2\cdot 1,5\,t=3,0\,t.
Aqui v(t) tem unidade \text{cm/s} porque derivamos posição (cm) em relação ao tempo (s).

Passo 5

Calcular v(2) e v(3) usando v(t)=3,0\,t.
Para t=2\\ \mathrm{s}:
v(2)=3,0\cdot 2=6,0\\ \text{cm/s}.
Para t=3\\ \mathrm{s}:
v(3)=3,0\cdot 3=9,0\\ \text{cm/s}.
Comentário: note que as velocidades instantâneas em t=2 e t=3 são diferentes da velocidade média 7,50\\ \text{cm/s}; isso é esperado porque a velocidade varia com t.

Passo 6

Para (c) precisamos do instante em que a partícula está no ponto médio entre x(2) e x(3). Primeiro calculo a posição do ponto médio (posição média entre as duas posições):
x_{\text{médio}}=\frac{x(2)+x(3)}{2}=\frac{15,75+23,25}{2}=\frac{39,00}{2}=19,50\\ \text{cm}.é
Agora encontro o tempo t_{\text{m}} tal que x(t_{\text{m}})=19,50. Ou seja, resolvo:
9,75+1,5\,t_{\text{m}}^{2}=19,50.
Isolando t_{\text{m}}^{2}:
1,5\,t_{\text{m}}^{2}=19,50-9,75=9,75,
t_{\text{m}}^{2}=\frac{9,75}{1,5}=6,50.
Portanto
t_{\text{m}}=\sqrt{6,50}.
Numericamente, \sqrt{6,50}\approx 2,5495\\ \text{s} (vou arredondar a seguir para duas casas decimais quando necessário).

Passo 7

Agora calculo a velocidade instantânea nesse tempo usando v(t)=3,0\,t:
v(t_{\text{m}})=3,0\,t_{\text{m}}=3,0\sqrt{6,50}.
Valor numérico:
v(t_{\text{m}})=3,0\cdot 2,5495\ldots \approx 7,65\\ \text{cm/s}.
Interpretação final rápida: a velocidade instantânea no ponto médio é um pouco maior que a velocidade média do intervalo, porque a função v(t)=3,0t cresce com t e o instante t_{\text{m}} está mais próximo de t=3 do que de t=2.

Resposta

(a) \bar{v}=7,50\\ \text{cm/s}
(b) v(2\,\mathrm{s})=6,00\\ \text{cm/s},\\ v(3\,\mathrm{s})=9,00\\ \text{cm/s}
(c) v=3,0\sqrt{6,50}\\ \text{cm/s}\approx 7,65\\ \text{cm/s}

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