Questão - A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada por
, com x em centimetros e t em segundos. Considere o intervalo de tempo de
a
e calcule; (a) a velocidade média; (b) a velocidade instantânea em t=2s e em t=3s; (c) a velocidade instantânea quando a partícula estiver no ponto médio entre as posições para
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá a posição da partícula ao longo do eixo
como função do tempo:
com
em centímetros e
em segundos. O intervalo de interesse é de
até
.
O que pede:
(a) calcular a velocidade média da partícula no intervalo de a
;
(b) calcular a velocidade instantânea em e em
;
(c) calcular a velocidade instantânea quando a partícula estiver no ponto médio entre as posições em e
.
(a) calcular a velocidade média da partícula no intervalo de
(b) calcular a velocidade instantânea em
(c) calcular a velocidade instantânea quando a partícula estiver no ponto médio entre as posições em
Informações relevantes dadas:
- A expressão de
foi fornecida (peguei do enunciado). - Unidade de
: centímetros. - Unidade de
: segundos. - Intervalo de tempo:
a .
Passo 2
Entender e usar a definição de velocidade média. A velocidade média em um intervalo de tempo
é a variação de posição dividida pelo intervalo de tempo:
Aqui
e
são as posições nos instantes
e
. Vou calcular primeiro
e
.
Calcule
:
Calcule
:
Passo 3
Agora aplico a fórmula da velocidade média no intervalo
,
:
Observação didática: a velocidade média é a inclinação da reta secante que liga os pontos
e
no gráfico
versus
.
Passo 4
Entender e usar a definição de velocidade instantânea. A velocidade instantânea
é a derivada de
em relação a
:
Explicando a derivada de forma prática: a derivada dá a taxa de variação instantânea — a inclinação da tangente ao gráfico
naquele instante.
Derivo
. A derivada de uma constante é zero; a derivada de
é
. Portanto:
Aqui
tem unidade
porque derivamos posição (cm) em relação ao tempo (s).
Passo 5
Calcular
e
usando
.
Para
:
Para
:
Comentário: note que as velocidades instantâneas em
e
são diferentes da velocidade média
; isso é esperado porque a velocidade varia com
.
Passo 6
Para (c) precisamos do instante em que a partícula está no ponto médio entre
e
. Primeiro calculo a posição do ponto médio (posição média entre as duas posições):
Agora encontro o tempo
tal que
. Ou seja, resolvo:
Isolando
:
Portanto
Numericamente,
(vou arredondar a seguir para duas casas decimais quando necessário).
Passo 7
Agora calculo a velocidade instantânea nesse tempo usando
:
Valor numérico:
Interpretação final rápida: a velocidade instantânea no ponto médio é um pouco maior que a velocidade média do intervalo, porque a função
cresce com
e o instante
está mais próximo de
do que de
.
Resposta
(a)
(b)
(c)