(Griffiths, Exemplo 1.1, pg. 08) Suponha que eu jogue uma pedra de um penhasco de altura h. Enquanto ela cai, tiro milhões de fotos em intervalos aleatórios. Em cada foto, meço a distância x que a pedra já percorreu. Pergunta: qual é a média \langle x\rangle de todas essas distâncias? Isto é, qual é a média temporal da distância percorrida? [Resp.: \left.\langle x\rangle=\int_{0}^{h} x \rho(x) d x=\int_{0}^{h} x \frac{1}{2 \sqrt{h x}} d x=\frac{h}{3}\right].

Passo 1

O enunciado pede a média temporal da distância x percorrida por uma pedra que cai de um penhasco de altura h. O conteúdo principal é probabilidade contínua aplicada a movimentos sob gravidade. Para resolver, precisamos (1) achar a densidade de probabilidade \rho(x) de encontrar a pedra em x num instante aleatório e (2) usar
\langle x\rangle = \int_{0}^{h} x\,\rho(x)\,dx.

Passo 2

Como as fotos são feitas em instantes aleatórios (tempo uniformemente distribuído), a probabilidade de encontrar a pedra num intervalo dx é proporcional ao tempo que ela leva para percorrer dx. Escrevemos
dt = \frac{dx}{v(x)},
logo a densidade em x é
\rho(x) = \frac{1}{T}\frac{dt}{dx} = \frac{1}{T\,v(x)},
onde T é o tempo total de queda, dado por
T = \sqrt{\frac{2\,h}{g}}.

Passo 3

A velocidade em função de x vem da queda livre sem velocidade inicial:
v(x) = \sqrt{2\,g\,x}.
Substituindo em \rho(x),
\rho(x) = \frac{1}{\sqrt{2h/g}\;\sqrt{2gx}} = \frac{1}{2\,\sqrt{h\,x}}.
Pode-se conferir rapidamente que \int_{0}^{h}\rho(x)\,dx=1.

Passo 4

Com a densidade pronta, calculamos a média
\langle x\rangle = \int_{0}^{h} x\,\rho(x)\,dx = \int_{0}^{h} x\,\frac{1}{2\sqrt{h\,x}}\,dx = \frac{1}{2\sqrt{h}}\int_{0}^{h} x^{1/2}\,dx.
A integral é
\int_{0}^{h} x^{1/2}\,dx = \frac{2}{3}\,h^{3/2},
então
\langle x\rangle = \frac{1}{2\sqrt{h}}\cdot\frac{2}{3}\,h^{3/2} = \frac{h}{3}.

Resposta

\langle x\rangle = \frac{h}{3}.

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