(Griffiths, Exemplo 1.1, pg. 08) Suponha que eu jogue uma pedra de um penhasco de altura
. Enquanto ela cai, tiro milhões de fotos em intervalos aleatórios. Em cada foto, meço a distância
que a pedra já percorreu. Pergunta: qual é a média
de todas essas distâncias? Isto é, qual é a média temporal da distância percorrida? [Resp.:
.
Passo 1
O enunciado pede a média temporal da distância
percorrida por uma pedra que cai de um penhasco de altura
. O conteúdo principal é probabilidade contínua aplicada a movimentos sob gravidade. Para resolver, precisamos (1) achar a densidade de probabilidade
de encontrar a pedra em
num instante aleatório e (2) usar
Passo 2
Como as fotos são feitas em instantes aleatórios (tempo uniformemente distribuído), a probabilidade de encontrar a pedra num intervalo
é proporcional ao tempo que ela leva para percorrer
. Escrevemos
logo a densidade em
é
onde
é o tempo total de queda, dado por
Passo 3
A velocidade em função de
vem da queda livre sem velocidade inicial:
Substituindo em
,
Pode-se conferir rapidamente que
.
Passo 4
Com a densidade pronta, calculamos a média
A integral é
então