(Griffiths, Problema 1.16, pg. 16) Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o produto interno de duas soluções
e
da equação de Schrödinger dependente do tempo
é constante no tempo, ou seja,
Vamos usar a própria equação de Schrödinger e condições de contorno de que as funções de onda se anulam em
.
Passo 2
Trazer a derivada em
para dentro da integral e aplicar a regra do produto:
Passo 3
Substituir
e
pelas expressões vindas da equação de Schrödinger
Isolando as derivadas temporais:
Passo 4
Inserindo essas expressões dentro da integral, notamos que os termos com
se cancelam, sobrando
Reconhecemos que
Passo 5
Transformamos a integral num termo de contorno pelo Teorema de Gauss (ou integração por partes):
Como
e
e suas derivadas vão a zero em
, esse termo de contorno é zero.