(Griffiths, Problema 1.16, pg. 16) Mostre que
\frac{d}{d t} \int_{-\infty}^{+\infty} \Psi_{1}^{*} \Psi_{2} d x=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o produto interno de duas soluções \Psi_{1}(x,t) e \Psi_{2}(x,t) da equação de Schrödinger dependente do tempo
\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi_{1}^{*}(x,t)\,\Psi_{2}(x,t)\,dx
é constante no tempo, ou seja,
\frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi_{1}^{*}\,\Psi_{2}\,dx = 0.
Vamos usar a própria equação de Schrödinger e condições de contorno de que as funções de onda se anulam em x\to\pm\infty.

Passo 2

Trazer a derivada em t para dentro da integral e aplicar a regra do produto:
\frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi_{1}^{*}\,\Psi_{2}\,dx =\int_{-\infty}^{+\infty}\Bigl(\frac{\partial\Psi_{1}^{*}}{\partial t}\,\Psi_{2} \;+\;\Psi_{1}^{*}\,\frac{\partial\Psi_{2}}{\partial t}\Bigr)dx.

Passo 3

Substituir \partial_t\Psi_{2} e \partial_t\Psi_{1}^{*} pelas expressões vindas da equação de Schrödinger
i\hbar\frac{\partial\Psi_{2}}{\partial t} =-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi_{2}}{\partial x^{2}}+V\Psi_{2}, \quad -i\hbar\frac{\partial\Psi_{1}^{*}}{\partial t} =-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi_{1}^{*}}{\partial x^{2}}+V\Psi_{1}^{*}.
Isolando as derivadas temporais:
\frac{\partial\Psi_{2}}{\partial t} =\frac{1}{i\hbar}\Bigl(-\tfrac{\hbar^{2}}{2m}\Psi_{2}''+V\Psi_{2}\Bigr), \quad \frac{\partial\Psi_{1}^{*}}{\partial t} =\frac{1}{i\hbar}\Bigl(+\tfrac{\hbar^{2}}{2m}\Psi_{1}^{*}''-V\Psi_{1}^{*}\Bigr).

Passo 4

Inserindo essas expressões dentro da integral, notamos que os termos com V se cancelam, sobrando
\frac{d}{dt}\!\int\Psi_{1}^{*}\Psi_{2}dx =\frac{1}{i\hbar}\frac{\hbar^{2}}{2m}\! \int_{-\infty}^{+\infty}\!(\Psi_{1}^{*}{}''\,\Psi_{2}-\Psi_{1}^{*}\,\Psi_{2}'' )\,dx.
Reconhecemos que
\Psi_{1}^{*}{}''\,\Psi_{2}-\Psi_{1}^{*}\,\Psi_{2}'' =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\Psi_{1}^{*}{}'\,\Psi_{2}-\Psi_{1}^{*}\,\Psi_{2}'\bigr).

Passo 5

Transformamos a integral num termo de contorno pelo Teorema de Gauss (ou integração por partes):
\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\Psi_{1}^{*}{}'\Psi_{2}-\Psi_{1}^{*}\Psi_{2}'\bigr)dx =\Bigl[\Psi_{1}^{*}{}'\Psi_{2}-\Psi_{1}^{*}\Psi_{2}'\Bigr]_{-\infty}^{+\infty}.
Como \Psi_{1} e \Psi_{2} e suas derivadas vão a zero em x\to\pm\infty, esse termo de contorno é zero.

Resposta

\frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi_{1}^{*}\Psi_{2}\,dx = 0.

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