(Griffiths, Problema 1.3, pg. 09) Considere a distribuição gaussiana
onde
,
e
são constantes reais positivas. (Procure quaisquer integrais de que você precise.)
(a) Use a condição de normalização da densidade de probabilidade (isto é, a equação
) para determinar
. [Resp.:
].
(b) Encontre
e
Resp.:
e
.
(c) Esboce um gráfico de
.
(a) Use a condição de normalização da densidade de probabilidade (isto é, a equação
(b) Encontre
(c) Esboce um gráfico de
Passo 1
O enunciado nos dá a distribuição gaussiana
com
,
e
positivos, e pede:
(a) determinar usando
(a) determinar
(b) calcular
,
e o desvio padrão
;
(c) esboçar o gráfico de .
(c) esboçar o gráfico de
Para isso vamos usar propriedades de integrais gaussianas e definições de valor esperado.
Passo 2
Queremos
Fazendo a troca de variável
, temos
Logo
Passo 3
O valor esperado é
Usando
,
, o termo ímpar em
anula e sobra
Passo 4
Para
fazemos igual:
Os termos lineares em
se anulam, restando
Sabemos que
então com
obtemos
O desvio padrão é
Passo 5
O gráfico de
é uma curva em forma de sino (bell curve) centrada em
, simétrica em torno desse ponto, com altura máxima
e “largura” caracterizada por
. Para
,
.
Resposta
(a)
.
(b) ,
,
.
(c) Curva em “sino” centrada em , máxima em
e caindo para zero quando
.
(b)
(c) Curva em “sino” centrada em