(Griffiths, Problema 1.3, pg. 09) Considere a distribuição gaussiana
\rho(x)=A e^{-\lambda(x-a)^{2}},
onde A, a e \lambda são constantes reais positivas. (Procure quaisquer integrais de que você precise.)
(a) Use a condição de normalização da densidade de probabilidade (isto é, a equação \int_{-\infty}^{+\infty} \rho(x) d x=1 ) para determinar A. [Resp.: A=\sqrt{\frac{\lambda}{\pi}} ].
(b) Encontre \langle x\rangle,\left\langle x^{2}\right\rangle e \sigma .\left[\right. Resp.: \langle x\rangle=a,\left\langle x^{2}\right\rangle=a^{2}+\frac{1}{2 \lambda} e \left.\sigma=\frac{1}{\sqrt{2 \lambda}}\right].
(c) Esboce um gráfico de \rho(x).

Passo 1

O enunciado nos dá a distribuição gaussiana
\rho(x)=A\,e^{-\lambda(x-a)^{2}},
com A, a e \lambda positivos, e pede:
(a) determinar A usando
\int_{-\infty}^{+\infty}\rho(x)\,dx=1;
(b) calcular \langle x\rangle, \langle x^{2}\rangle e o desvio padrão \sigma;
(c) esboçar o gráfico de \rho(x).
Para isso vamos usar propriedades de integrais gaussianas e definições de valor esperado.

Passo 2

Queremos
\int_{-\infty}^{+\infty}A\,e^{-\lambda(x-a)^{2}}dx=1.
Fazendo a troca de variável u=x-a, temos
\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\lambda(x-a)^{2}}dx =\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\lambda u^{2}}du =\sqrt{\frac{\pi}{\lambda}}.
Logo
A\sqrt{\frac{\pi}{\lambda}}=1 \quad\Longrightarrow\quad A=\sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}.

Passo 3

O valor esperado é
\langle x\rangle =\int_{-\infty}^{+\infty}x\,\rho(x)\,dx =A\int_{-\infty}^{+\infty}x\,e^{-\lambda(x-a)^{2}}dx.
Usando u=x-a, x=u+a, o termo ímpar em u anula e sobra
\langle x\rangle =A\int_{-\infty}^{+\infty}(u+a)e^{-\lambda u^{2}}du =a\,A\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\lambda u^{2}}du =a.

Passo 4

Para \langle x^{2}\rangle fazemos igual:
\langle x^{2}\rangle =A\int_{-\infty}^{+\infty}(u+a)^{2}e^{-\lambda u^{2}}du =A\int_{-\infty}^{+\infty}(u^{2}+2au+a^{2})e^{-\lambda u^{2}}du.
Os termos lineares em u se anulam, restando
\langle x^{2}\rangle =A\Bigl[\int u^{2}e^{-\lambda u^{2}}du + a^{2}\!\!\int e^{-\lambda u^{2}}du\Bigr] =a^{2} + A\int_{-\infty}^{+\infty}u^{2}e^{-\lambda u^{2}}du.
Sabemos que
\int_{-\infty}^{+\infty}u^{2}e^{-\lambda u^{2}}du =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\lambda^{3}}},
então com A=\sqrt{\lambda/\pi} obtemos
\langle x^{2}\rangle =a^{2} + \frac{1}{2\lambda}.
O desvio padrão é
\sigma =\sqrt{\langle x^{2}\rangle - \langle x\rangle^{2}} =\sqrt{\Bigl(a^{2}+\tfrac{1}{2\lambda}\Bigr)-a^{2}} =\frac{1}{\sqrt{2\lambda}}.

Passo 5

O gráfico de \rho(x) é uma curva em forma de sino (bell curve) centrada em x=a, simétrica em torno desse ponto, com altura máxima \rho(a)=A=\sqrt{\lambda/\pi} e “largura” caracterizada por \sigma=1/\sqrt{2\lambda}. Para x\to\pm\infty, \rho(x)\to0.

Resposta

(a) A=\sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}.
(b) \langle x\rangle=a, \langle x^{2}\rangle=a^{2}+\tfrac{1}{2\lambda}, \sigma=\tfrac{1}{\sqrt{2\lambda}}.
(c) Curva em “sino” centrada em x=a, máxima em \rho(a)=\sqrt{\lambda/\pi} e caindo para zero quando x\to\pm\infty.

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