(Griffiths, Problema 1.18, pg. 16) Em geral, a mecânica quântica é relevante quando o comprimento de onda de de Broglie da partícula em questão (
) é maior do que o tamanho característico do sistema (
). Em equilíbrio térmico à temperatura
(Kelvin), a energia cinética média de uma partícula é
(onde
é a constante de Boltzmann) e, portanto, o comprimento de onda típico de de Broglie é
O objetivo desse problema é antecipar quais sistemas terão de ser tratados do ponto de vista da mecânica quântica e quais podem tranquilamente ser descritos classicamente.
Sólidos - O espaçamento da rede em um sólido típico é de cerca de
. Encontre a temperatura abaixo da qual os elétrons livres (aqueles que não estão fortemente ligados ao núcleo), em um sólido, são quânticos. Abaixo de qual temperatura é o núcleo atômico considerado quântico em um sólido? (Use o sódio como caso típico.) Conclusão: os elétrons livres em um sólido são sempre quânticos; os núcleos quase nunca são quânticos. O mesmo vale para líquidos (para os quais o espaçamento interatômico é quase o mesmo), com exceção do hélio abaixo de
.
Sólidos - O espaçamento da rede em um sólido típico é de cerca de
Passo 1
O enunciado pede a temperatura abaixo da qual o comprimento de onda de de Broglie de uma partícula em um sólido,
ultrapassa o espaçamento típico da rede
. Quando
, o comportamento quântico é dominante. Vamos aplicar isso aos elétrons (massa
) e aos núcleos de sódio (massa aproximada
).
Passo 2
Definindo a temperatura crítica
por
, temos
Essa expressão nos dá a temperatura abaixo da qual a partícula de massa
exibe comportamento quântico no sólido.
Passo 3
Para o elétron,
e
. Calculamos
Passo 4
Para o núcleo de sódio, usamos
. Então
Passo 5
Comparando com temperaturas usuais (ex.:
), vemos que
-
, muito maior que : elétrons em sólidos são sempre quânticos. -
, muito menor que : núcleos se tornam quânticos apenas abaixo de poucos kelvin.
Resposta
Temperatura crítica para elétrons:
.
Temperatura crítica para núcleos de sódio: .
Temperatura crítica para núcleos de sódio: