(Griffiths, Problema 1.18, pg. 16) Em geral, a mecânica quântica é relevante quando o comprimento de onda de de Broglie da partícula em questão ( \lambda=\frac{h}{p} ) é maior do que o tamanho característico do sistema ( d ). Em equilíbrio térmico à temperatura T (Kelvin), a energia cinética média de uma partícula é
\frac{p^{2}}{2 m}=\frac{3}{2} k_{B} T
(onde k_{B} é a constante de Boltzmann) e, portanto, o comprimento de onda típico de de Broglie é
\lambda=\frac{h}{\sqrt{3 m k_{B} T}}
O objetivo desse problema é antecipar quais sistemas terão de ser tratados do ponto de vista da mecânica quântica e quais podem tranquilamente ser descritos classicamente.
Sólidos - O espaçamento da rede em um sólido típico é de cerca de d=0,3 n m. Encontre a temperatura abaixo da qual os elétrons livres (aqueles que não estão fortemente ligados ao núcleo), em um sólido, são quânticos. Abaixo de qual temperatura é o núcleo atômico considerado quântico em um sólido? (Use o sódio como caso típico.) Conclusão: os elétrons livres em um sólido são sempre quânticos; os núcleos quase nunca são quânticos. O mesmo vale para líquidos (para os quais o espaçamento interatômico é quase o mesmo), com exceção do hélio abaixo de 4,0 \mathrm{~K}.

Passo 1

O enunciado pede a temperatura abaixo da qual o comprimento de onda de de Broglie de uma partícula em um sólido,
\lambda = \frac{h}{\sqrt{3\,m\,k_{B}\,T}},
ultrapassa o espaçamento típico da rede d=0,3\,\text{nm}. Quando \lambda>d, o comportamento quântico é dominante. Vamos aplicar isso aos elétrons (massa m_e) e aos núcleos de sódio (massa aproximada m_{\text{Na}}).

Passo 2

Definindo a temperatura crítica T_c por \lambda=d, temos
d = \frac{h}{\sqrt{3\,m\,k_{B}\,T_c}} \quad\Longrightarrow\quad T_c = \frac{h^2}{3\,m\,k_{B}\,d^2}.
Essa expressão nos dá a temperatura abaixo da qual a partícula de massa m exibe comportamento quântico no sólido.

Passo 3

Para o elétron, m=m_e=9{,}11\times10^{-31}\,\text{kg} e d=0{,}3\,\text{nm}=3{,}0\times10^{-10}\,\text{m}. Calculamos
T_{c,e} = \frac{(6{,}626\times10^{-34})^2}{3\,(9{,}11\times10^{-31})(1{,}38\times10^{-23})(3{,}0\times10^{-10})^2} \approx1{,}3\times10^{5}\,\text{K}.

Passo 4

Para o núcleo de sódio, usamos m_{\text{Na}}\approx23\,u\approx23\times1{,}66\times10^{-27}=3{,}82\times10^{-26}\,\text{kg}. Então
T_{c,n} = \frac{(6{,}626\times10^{-34})^2}{3\,(3{,}82\times10^{-26})(1{,}38\times10^{-23})(3{,}0\times10^{-10})^2} \approx3{,}1\,\text{K}.

Passo 5

Comparando com temperaturas usuais (ex.: T\sim300\,\text{K}), vemos que
  • T_{c,e}\sim10^{5}\,\text{K}, muito maior que 300\,\text{K}: elétrons em sólidos são sempre quânticos.
  • T_{c,n}\sim3\,\text{K}, muito menor que 300\,\text{K}: núcleos se tornam quânticos apenas abaixo de poucos kelvin.

Resposta

Temperatura crítica para elétrons: T_{c,e}\approx1{,}3\times10^{5}\,\text{K}.
Temperatura crítica para núcleos de sódio: T_{c,n}\approx3\,\text{K}.

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