Lei dos senos. Dois vetores \overrightarrow{\mathrm{A}} e \overrightarrow{\mathrm{B}} formam um ângulo de 120^{\circ} entre si. O vetor \overrightarrow{\mathrm{A}} possui um módulo igual a 25,0 unidades de comprimento e faz um ângulo de 35^{\circ} com o vetor resultante \overrightarrow{\mathbf{R}}=\overrightarrow{\mathbf{A}}+\overrightarrow{\mathbf{B}}.
(a) Determine o módulo do vetor \overrightarrow{\mathbf{B}}.
(b) Calcule o módulo do vetor resultante \overrightarrow{\mathbf{R}}.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores \overrightarrow{A} e \overrightarrow{B} tais que \lvert\overrightarrow{A}\rvert=25{,}0, o ângulo entre eles é 120^\circ e o vetor resultante \overrightarrow{R}=\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B} faz 35^\circ com \overrightarrow{A}. Vamos usar o conteúdo de Lei dos Senos num triângulo formado pelos vetores \overrightarrow{A}, \overrightarrow{B} e \overrightarrow{R}.

Passo 2

Representamos geometricamente a soma vetorial por um triângulo de vértices O (origem de \overrightarrow{A}), A (cabeça de \overrightarrow{A}) e E (cabeça de \overrightarrow{R}). Nesse triângulo:
– O ângulo em O (entre \overrightarrow{A} e \overrightarrow{R}) vale 35^\circ.
– O ângulo em A (entre \overrightarrow{A} e \overrightarrow{B}) vale 120^\circ.
– Portanto, o ângulo em E é
180^\circ - 35^\circ - 120^\circ = 25^\circ.

Passo 3

Pela Lei dos Senos, escrevemos
\frac{\lvert\overrightarrow{A}\rvert}{\sin(25^\circ)} \;=\;\frac{\lvert\overrightarrow{B}\rvert}{\sin(35^\circ)}.
Isolando \lvert\overrightarrow{B}\rvert,
\lvert\overrightarrow{B}\rvert = \lvert\overrightarrow{A}\rvert\;\frac{\sin(35^\circ)}{\sin(25^\circ)} = 25{,}0\;\frac{\sin(35^\circ)}{\sin(25^\circ)}.
Calculando numericamente ( \sin35^\circ\approx0{,}574, \sin25^\circ\approx0{,}423),
\lvert\overrightarrow{B}\rvert \approx 25{,}0 \times \frac{0{,}574}{0{,}423} \approx 33{,}9.

Passo 4

De novo pela Lei dos Senos, agora usando o lado \lvert\overrightarrow{R}\rvert (oposto a 120^\circ),
\frac{\lvert\overrightarrow{A}\rvert}{\sin(25^\circ)} = \frac{\lvert\overrightarrow{R}\rvert}{\sin(120^\circ)} \quad\Longrightarrow\quad \lvert\overrightarrow{R}\rvert = 25{,}0\;\frac{\sin(120^\circ)}{\sin(25^\circ)}.
Como \sin120^\circ=\tfrac{\sqrt3}{2}\approx0{,}866,
\lvert\overrightarrow{R}\rvert \approx 25{,}0 \times \frac{0{,}866}{0{,}423} \approx 51{,}2.

Resposta

(a) \lvert\overrightarrow{B}\rvert \approx 33{,}9 unidades
(b) \lvert\overrightarrow{R}\rvert \approx 51{,}2 unidades

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