Num grupo de 75 jovens, 16 gostam de música, esporte e leitura; 24 gostam de música e esporte; 30 gostam de música e leitura; 22 gostam de esporte e leitura; 44 gostam de música; 39 gostam de esporte e 41 gostam de leitura.
Qual a probabilidade de, ao apontar, ao acaso, um desses jovens, ele não gostar de nenhuma dessas atividades?

Passo 1

Beleza, vamos entender a questão primeiro.
Temos um grupo de 75 jovens e três atividades: música (M), esporte (E) e leitura (L).
Dados:
  • |M| = 44
  • |E| = 39
  • |L| = 41
  • |M∩E| = 24
  • |M∩L| = 30
  • |E∩L| = 22
  • |M∩E∩L| = 16
Conteúdo: teoria de conjuntos, mais precisamente o Princípio da Inclusão-Exclusão para três conjuntos.
Para resolver, precisamos aplicar esse princípio e depois calcular o complemento (quem não gosta de nenhuma).

Passo 2

O Princípio da Inclusão-Exclusão para três conjuntos diz:
|M cup E cup L| = |M| + |E| + |L| ;-; (|M∩E| + |M∩L| + |E∩L|) ;+; |M∩E∩L|
Isso nos dá quantos jovens gostam de pelo menos uma das atividades.

Passo 3

Substituindo os números na fórmula:
|M cup E cup L| = 44 + 39 + 41 ;-; (24 + 30 + 22) ;+; 16
Calcule passo a passo:
  1. Soma simples: 44 + 39 + 41 = 124
  2. Soma dos pares: 24 + 30 + 22 = 76
  3. Então: 124 – 76 + 16 = 64
Logo, 64 jovens gostam de pelo menos uma atividade.

Passo 4

Agora queremos quem não gosta de nenhuma.
Total de jovens = 75
Gostam de ≥1 atividade = 64
Então quem não gosta de nenhuma = 75 – 64 = 11
A probabilidade de apontar, ao acaso, um desses jovens e ele não gostar de nenhuma atividades é:
1175

Resposta

A probabilidade é .

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