Nos problemas 41 a 50 , ache dy/dx com o emprego da diferenciação implícita.
xy+yx=5

Passo 1

O enunciado pede a derivada implícita de xy + yx = 5. O conteúdo principal é diferenciação implícita de quocientes, usando a regra do quociente e lembrando que y = y(x) depende de x.

Passo 2

Derivamos xy em relação a x aplicando regra do quociente: u = x, v = y. Temos
ddxl(xyr) = u'v - uv'v^2 = 1cdot y - xcdot y'y^2 = y - x,y'y^2

Passo 3

Derivamos yx em relação a x também por regra do quociente, agora u = y, v = x:
ddxl(yxr) = y'cdot x - ycdot1x^2 = x,y' - yx^2

Passo 4

Somando as derivadas e igualando a derivada de 5 (que é zero), obtemos
y - x,y'y^2 + x,y' - yx^2 = 0

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados por x^2y^2 para eliminar denominadores:
x^2(y - x y') + y^2(x y' - y) = 0

Passo 6

Expandindo e agrupando os termos que contêm y':
x^2y - x^3y' + x y^2y' - y^3 = 0

Passo 7

Colocando y' em evidência e o resto no outro lado:
y'(-x^3 + x y^2) = y^3 - x^2y

Passo 8

Finalmente, isolamos y' e simplificamos reconhecendo fator comum (y^2 - x^2):
y' = y^3 - x^2yx y^2 - x^3 = y(y^2 - x^2)x(y^2 - x^2) = yx

Resposta

dydx = yx

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