Seja S3 o grupo das permutações dos 3 elementos x1, x2 e x3. Considere as funções phi e psi dadas por phi=[lllx1 & x2 & x3 x2 & x1 & x3] e psi=[lllx1 & x2 & x3 x2 & x3 & x1]. Mostre que
phi^2=e

Passo 1

O enunciado está em teoria de grupos finitos, mais precisamente no grupo S3 das permutações dos elementos x1,x2,x3. Temos a permutação
phi = x1 & x2 & x3 x2 & x1 & x3
e queremos mostrar que phi^2=e, onde e é a permutação identidade.

Passo 2

Vamos relembrar como funciona o produto (composição) de permutações. Se phi é uma permutação, então phi^2=phicircphi é definida por
(phicircphi)(xi)=phil(phi(xi)r)
para cada iin1,2,3. Primeiro notamos explicitamente que
phi(x1)=x2, phi(x2)=x1, phi(x3)=x3

Passo 3

Agora calculamos phi^2(xi) para cada i:
phi^2(x1)=phil(phi(x1)r)=phi(x2)=x1,
phi^2(x2)=phil(phi(x2)r)=phi(x1)=x2,
phi^2(x3)=phil(phi(x3)r)=phi(x3)=x3

Passo 4

Como phi^2 leva cada xi em si mesmo, concluímos que phi^2 é exatamente a permutação identidade e.

Resposta

phi^2=e

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