(Grupo C) Obtenha a projeção ortogonal de f(x)=1+2 x-x^2 sobre g(x)=3-2 x^2, considerando o produto interno
lang<= f(x), g(x)rang<==integral-1^1 f(x) g(x) d x

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal de f(x)=1+2x - x^2 sobre g(x)=3-2x^2 no espaço de polinômios com o produto interno
lang<= u,vrang<= = integral-1^1u(x),v(x),dx
O conteúdo aqui é o de projeção em espaços com produto interno, usando a fórmula
projgf = lang<= f,grang<=lang<= g,grang<=;g

Passo 2

Aplicamos diretamente a fórmula da projeção:
projgf(x) = integral-1^1f(x),g(x),dxintegral-1^1g(x)^2,dx;l(3-2x^2r)

Passo 3

Calculamos primeiro
lang<= f,grang<= =integral-1^1l(1+2x - x^2r)l(3-2x^2r),dx
Expandindo o produto obtém-se
(1+2x - x^2)(3-2x^2) =3 +6x -5x^2 -4x^3 +2x^4
Integrando termo a termo de -1 a 1:
integral-1^13,dx =6, integral-1^16x,dx=0, integral-1^1-5x^2,dx=-tfrac103, integral-1^1-4x^3,dx=0, integral-1^12x^4,dx=tfrac45
Logo
lang<= f,grang<= =6 - tfrac103 + tfrac45 = 5215

Passo 4

Agora
lang<= g,grang<= =integral-1^1(3-2x^2)^2,dx =integral-1^1l(9 -12x^2+4x^4r),dx
Calculando cada parte:
integral-1^19,dx=18, integral-1^1-12x^2,dx=-8, integral-1^14x^4,dx=tfrac85
Assim
lang<= g,grang<= =18 -8 + tfrac85 = 585

Passo 5

Substituindo em
projgf =lang<= f,grang<=lang<= g,grang<=,g,
temos
lang<= f,grang<=lang<= g,grang<= =tfrac5215tfrac585 =5215cdot558 =2687,
portanto
projgf(x) =2687,l(3-2x^2r)

Resposta

A projeção ortogonal de f sobre g é
projgf(x) =2687,(3-2x^2)

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