(Grupo D) Se x, y e z são números positivos, mostre que
x+y+z <= 2(x^2y+z+y^2x+z+z^2x+y)

Passo 1

O enunciado pede que, para x,y,z>0, se prove
x+y+z <= 2l(x^2y+z+y^2z+x+z^2x+yr)
O conteúdo principal é desigualdade de frações com quadrados, e vamos usar o lema de Titu (forma de Engel da desigualdade de Cauchy–Schwarz).

Passo 2

O lema de Titu afirma que, para quaisquer números reais ai e quaisquer bi>0, vale
sumi=1^n ai^2bi ;>=; l(sumi=1^n air)^2sumi=1^n bi

Passo 3

Aplicamos esse lema com
a1 = x, a2 = y, a3 = z, b1 = y+z, b2 = z+x, b3 = x+y
Portanto,
x^2y+z+y^2z+x+z^2x+y ;>=; (x+y+z)^2(y+z)+(z+x)+(x+y) = (x+y+z)^22(x+y+z) = x+y+z2

Passo 4

Agora basta multiplicar ambos os lados por 2, obtendo
2l(x^2y+z+y^2z+x+z^2x+yr) ;>=; x+y+z,
que é exatamente a desigualdade que queríamos demonstrar.

Resposta

A desigualdade
x+y+z <= 2l(x^2y+z+y^2z+x+z^2x+yr)
está provada.

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