(Grupo D) Se
e
são números positivos, mostre que
Passo 1
O enunciado pede que, para
, se prove
O conteúdo principal é desigualdade de frações com quadrados, e vamos usar o lema de Titu (forma de Engel da desigualdade de Cauchy–Schwarz).
Passo 2
O lema de Titu afirma que, para quaisquer números reais
e quaisquer
, vale
Passo 3
Aplicamos esse lema com
Portanto,
Passo 4
Agora basta multiplicar ambos os lados por
, obtendo
que é exatamente a desigualdade que queríamos demonstrar.
Resposta
A desigualdade
está provada.