(Grupo D) Construa uma matriz de ordem 2 invertível, mas não diagonalizável.

Passo 1

O enunciado pede para construirmos uma matriz 2times2 invertível, mas não diagonalizável. O conteúdo principal aqui é teoria de autovalores e diagonalização de matrizes: precisamos de um exemplo em que haja multiplicidade algébrica maior que a geométrica, e que o determinante seja não nulo.

Passo 2

Lembramos que uma matriz é diagonalizável se, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio) for igual à multiplicidade algébrica. Para evitar diagonalização num caso 2times2, basta escolher um autovalor lambdaneq0 de multiplicidade algébrica 2, mas com espaço próprio unidimensional (multiplicidade geométrica 1).

Passo 3

Um exemplo padrão é a matriz de Jordan de ordem 2 com autovalor lambda=1:
A = 1 & 1 0 & 1

Passo 4

Verificamos que
det(A)=1cdot1 - 1cdot0 = 1 neq 0,
logo A é invertível.
Os autovalores vêm de
det(A-lambda I) =det1-lambda & 1 0 & 1-lambda =(1-lambda)^2=0,
de onde lambda=1 com multiplicidade algébrica 2.
Para achar o espaço próprio, resolvemos
(A-I)v=0 Longrightarrow 0 & 1 0 & 0 x y =0 0,
que impõe y=0 e deixa x livre, gerando um espaço próprio de dimensão 1. Assim, a multiplicidade geométrica é 1<2, e A não é diagonalizável.

Resposta

A = 1 & 1 0 & 1

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