Um grupo consta de 10 pessoas, dos quais 3 são engenheiros. De quantas formas podemos formar uma comissão de 4 pessoas de modo que:
a) Haja exatamente um engenheiro na comissão?
b) Pelo menos um membro da comissão seja engenheiro?

Passo 1

O enunciado diz que há um grupo de 10 pessoas, sendo 3 engenheiros e 7 não-engenheiros, e queremos formar comissões de 4 pessoas. O conteúdo usado aqui é contado de combinações, em que o número de formas de escolher k elementos de um conjunto de n é dado pelo coeficiente binomial \binom{n}{k}.

Passo 2

Para que haja exatamente um engenheiro na comissão, procedemos assim:
  1. Escolher 1 engenheiro dentre os 3: \binom{3}{1}.
  2. Escolher 3 não-engenheiros dentre os 7: \binom{7}{3}.
    Pelo princípio multiplicativo, o total é
\binom{3}{1}\cdot \binom{7}{3} = 3\cdot 35 = 105.

Passo 3

Para que haja pelo menos um engenheiro, é mais fácil usar o complemento:
  1. Total de comissões de 4 pessoas sem restrição: \binom{10}{4}.
  2. Comissões sem engenheiro (0 engenheiros): escolher as 4 pessoas entre os 7 não-engenheiros, ou seja, \binom{7}{4}.
    Logo, o número desejado é
\binom{10}{4} - \binom{7}{4} = 210 - 35 = 175.

Resposta

a) 105
b) 175

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