Um grupo consta de 10 pessoas, dos quais 3 são engenheiros. De quantas formas podemos formar uma comissão de 4 pessoas de modo que:
a) Haja exatamente um engenheiro na comissão?
b) Pelo menos um membro da comissão seja engenheiro?
a) Haja exatamente um engenheiro na comissão?
b) Pelo menos um membro da comissão seja engenheiro?
Passo 1
O enunciado diz que há um grupo de 10 pessoas, sendo 3 engenheiros e 7 não-engenheiros, e queremos formar comissões de 4 pessoas. O conteúdo usado aqui é contado de combinações, em que o número de formas de escolher
elementos de um conjunto de
é dado pelo coeficiente binomial
.
Passo 2
Para que haja exatamente um engenheiro na comissão, procedemos assim:
- Escolher 1 engenheiro dentre os 3:
. - Escolher 3 não-engenheiros dentre os 7:
.
Pelo princípio multiplicativo, o total é
Passo 3
Para que haja pelo menos um engenheiro, é mais fácil usar o complemento:
- Total de comissões de 4 pessoas sem restrição:
. - Comissões sem engenheiro (0 engenheiros): escolher as 4 pessoas entre os 7 não-engenheiros, ou seja,
.
Logo, o número desejado é
Resposta
a)
b)
b)