Quantas soluções inteiras não negativas têm a equação x+y+z=6 ?

Passo 1

O enunciado pede o número de soluções inteiras não negativas de
x + y + z = 6
ou seja, quantas tuplas (x,y,z) com x,y,z\ge0 satisfazem essa soma. O conteúdo aqui é combinatória, especificamente o método de “barras e estrelas” para distribuir 6 unidades em 3 variáveis.

Passo 2

Pelo método de barras e estrelas, distribuir n objetos idênticos em k caixas não vazias ou vazias tem número de soluções dado por
\binom{n + k - 1}{k - 1}.
Aqui n=6 (as “estrelas”) e k=3 (as “caixas” x,y,z).

Passo 3

Substituindo na fórmula:
\binom{6 + 3 - 1}{3 - 1} = \binom{8}{2} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28.

Resposta

São 28 soluções inteiras não negativas.

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