Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 engenheiros. De quantas formas podemos formar comissões de 10 pessoas de modo que:
Todos os engenheiros participem da comissão?

Passo 1

Então, o problema é o seguinte: temos um grupo de 20 pessoas, das quais 5 são engenheiros. Queremos formar comissões de 10 pessoas garantindo que todos os engenheiros estejam na comissão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinatória, especificamente combinações, que nos ajudam a calcular de quantas maneiras podemos selecionar um grupo de pessoas sem nos preocupar com a ordem.

Passo 2

Primeiro, já que todos os 5 engenheiros precisam estar na comissão, eles já estão garantidos. Então, precisamos escolher as outras 5 pessoas das 15 que não são engenheiros.

Passo 3

Para descobrir de quantas maneiras podemos escolher essas 5 pessoas das 15 disponíveis, usamos a fórmula de combinação, que é:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
Aqui, $ n = 15 $ (as pessoas que não são engenheiros) e $ k = 5 $ (as vagas restantes na comissão).

Resposta

Assim, o número de formas de formar a comissão é:
C(15, 5) = 3003

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