Permutam-se de todos os modos possíveis os algarismos
e escrevem-se os números assim formados em ordem crescente.
Qual o
algarismo escrito?
Qual o
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente pegar todos os algarismos (que são os dígitos) 1, 3, 5, 7, 9, arrumar essas cifras de todas as maneiras possíveis para formar números, e depois listar esses números em ordem crescente. A ideia é descobrir qual é o 148º algarismo que aparece nessa lista toda. Para resolver, vamos precisar entender de permutação (que é basicamente rearranjar os elementos) e um pouco de contagem para localizar exatamente onde está o 148º dígito.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir quantos números diferentes conseguimos formar com esses 5 dígitos. Como cada dígito é único e usamos todos eles, o número total de permutações é dado por 5 fatorial (5!). Então:
Ou seja, podemos formar 120 números diferentes de 5 dígitos usando 1, 3, 5, 7 e 9.
Passo 3
Cada um desses 120 números tem 5 algarismos. Então, o total de algarismos que a gente vai ter é:
Temos 600 algarismos no total quando listamos todos os números em ordem crescente.
Passo 4
Agora, queremos encontrar qual é o 148º algarismo nessa sequência de 600. Para isso, precisamos saber em qual posição do número isso vai cair. Vamos dividir esse número total de algarismos pelos 5 algarismos de cada número para descobrir em qual número específico está o 148º algarismo.
Isso significa que o 148º algarismo está no 30º número da lista (porque 29 números completos dão 145 algarismos, e o 148º está nos próximos 3 algarismos).
Passo 5
Agora, vamos identificar qual é o 30º número na lista de números formados pelas permutações de 1, 3, 5, 7, 9 em ordem crescente.
Para facilitar, sabemos que os números começam com 1, depois com 3, 5, 7 e 9. Cada primeiro dígito fixa 4 dígitos restantes, então para cada dígito inicial, temos:
Portanto:
- Números começando com 1: 24 números (1 a 24)
- Números começando com 3: 24 números (25 a 48)
- Números começando com 5: 24 números (49 a 72)
- Números começando com 7: 24 números (73 a 96)
- Números começando com 9: 24 números (97 a 120)
Estamos procurando o 30º número, que cai na faixa de números que começam com 3 (números 25 a 48).
Passo 6
Dentro dos números que começam com 3, queremos saber qual é o 30º número geral. Como os números 25 a 48 começam com 3, o 30º número é o:
Dentro dos números que começam com 3, o 6º número específico.
Passo 7
Agora, vamos listar os números que começam com 3 em ordem crescente. Os dígitos restantes são 1, 5, 7, 9. As combinações dessas quatro cifras são:
- 31579
- 31759
- 31957
- 35179
- 35197
- 35317
Então, o 6º número que começa com 3 é 35197.
Passo 8
Agora que sabemos que o 30º número é 35197, e que o 148º algarismo está no 30º número, precisamos ver qual dígito dentro desse número corresponde ao 148º algarismo.
Como cada número tem 5 dígitos:
- Números 1 a 29 correspondem a 145 algarismos (29 × 5)
- Portanto, o 146º algarismo é o primeiro dígito do 30º número
- O 147º é o segundo
- E o 148º é o terceiro dígito
Passo 9
O 30º número é 35197. Vamos identificar o terceiro dígito:
Então, o terceiro algarismo é 1.
Resposta
O 148º algarismo escrito é 1.