Permutam-se de todos os modos possíveis os algarismos
e escrevem-se os números assim formados em ordem crescente.
Que lugar ocupa o número 73915?
Que lugar ocupa o número 73915?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente permutar os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9 de todas as maneiras possíveis, formar números com esses algarismos e listar esses números em ordem crescente. Nosso objetivo é descobrir em que posição está o número 73915 nessa lista. Para resolver isso, vamos precisar entender de permutações e de como contar a ordem dos números quando eles estão ordenados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quantas permutações diferentes podemos fazer com os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9. Como são 5 algarismos distintos, o número total de permutações é dado por 5! (5 fatorial). O fatorial de um número n é o produto de todos os números inteiros de 1 até n.
Então, temos 120 números diferentes nessa lista.
Passo 3
Agora, vamos analisar o número 73915. Cada posição no número corresponde a um algarismo: 7 está na posição das dezenas de milhares, 3 na posição das milhares, 9 na das centenas, 1 nas dezenas e 5 nas unidades.
Para determinar a posição de 73915, vamos calcular quantos números menores que ele existem na lista. Fazemos isso posição por posição, começando da esquerda para a direita.
Passo 4
Primeira posição (dígito das dezenas de milhares):
Os algarismos disponíveis são 1, 3, 5, 7, 9. O primeiro dígito do nosso número é 7. Vamos contar quantos algarismos menores que 7 podem estar nessa posição, ou seja, 1, 3 e 5.
- Para cada um desses 3 algarismos, temos 4! maneiras de arrumar os outros 4 dígitos.
Então, já existem 72 números menores que 73915 que começam com 1, 3 ou 5.
Passo 5
Segunda posição (dígito das milhares):
O primeiro dígito é fixo em 7. Agora, o segundo dígito é 3. Os algoritmos ainda disponíveis são 1, 3, 5, 9 (já que 7 é o primeiro dígito).
Vamos ver quantos algarismos menores que 3 estão disponíveis: apenas 1.
- Para esse 1, temos 3! maneiras de arrumar os outros 3 dígitos.
Então, adicionamos mais 6 números menores que 73915 que começam com 7 e têm o segundo dígito menor que 3.
Passo 6
Terceira posição (dígito das centenas):
Os dois primeiros dígitos são 7 e 3. Agora, o terceiro dígito é 9. Os algarismos disponíveis são 1, 5, 9.
Vamos contar quantos algarismos menores que 9 estão disponíveis: 1 e 5.
- Para cada um desses 2, temos 2! maneiras de arrumar os outros 2 dígitos.
Então, adicionamos mais 4 números menores que 73915 que começam com 73 e têm o terceiro dígito menor que 9.
Passo 7
Quarta posição (dígito das dezenas):
Os três primeiros dígitos são 7, 3 e 9. Agora, o quarto dígito é 1. Os algarismos disponíveis são 1 e 5.
Vamos ver quantos algarismos menores que 1 estão disponíveis: nenhum.
Então, não adicionamos nenhum número aqui.
Passo 8
Quinta posição (dígito das unidades):
Os quatro primeiros dígitos são 7, 3, 9 e 1. O último dígito é 5. Não há mais dígitos para arranjar, então não precisamos contar nada aqui.
Passo 9
Agora, somamos todos os números menores que 73915 que já contamos:
Isso significa que há 82 números menores que 73915 na lista.
Resposta
Portanto, o número 73915 ocupa a 83ª posição na lista.