Um laboratório elétrico precisa distribuir 25 dispositivos para teste em 6 estações diferentes. Algumas estações podem não receber nenhum dispositivo. De quantas maneiras isso pode ser feito?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos 25 dispositivos iguais que precisam ser distribuídos em 6 estações diferentes para testes. Algumas dessas estações podem não receber nenhum dispositivo. Para resolver isso, vamos usar um conceito da combinatória chamado “combinações com repetição”.

Passo 2

Primeiro, como os dispositivos são iguais, a ordem em que são colocados nas estações não importa. O que interessa é quantos dispositivos cada estação recebe. Além disso, como as estações são diferentes, cada configuração de distribuição conta como uma maneira diferente.

Passo 3

O conceito que vamos usar se chama “Princípio das Estrelas e Barras”. Imagine que os 25 dispositivos são representados por estrelas (*), e as separações entre as 6 estações são representadas por barras (|). Por exemplo:
***|****||||*****
Isso significa que a primeira estação tem 3 dispositivos, a segunda tem 4, a terceira 5, a quarta 2, a quinta 3 e a sexta 5.

Passo 4

Para encontrar o número total de maneiras de distribuir os dispositivos, precisamos calcular de quantas formas podemos organizar essas estrelas e barras. Temos 25 estrelas e 5 barras (porque 6 estações precisam de 5 divisões).
A fórmula para isso é:
Número de maneiras = binom25 + 6 - 16 - 1 = binom305 ú
onde binomnk representa uma combinação, ou seja, o número de maneiras de escolher k elementos de um conjunto de n.

Passo 5

Agora, vamos calcular binom305:
binom305 = 30!5! times 25! = 142.506

Resposta

142.506 maneiras diferentes de distribuir os 25 dispositivos nas 6 estações.

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