Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 engenheiros. De quantas formas podemos formar comissões de 10 pessoas de modo que:
Pelo menos um membro da comissão seja engenheiro?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir de quantas maneiras podemos formar comissões de 10 pessoas a partir de um grupo de 20, onde pelo menos um membro da comissão seja engenheiro. A matéria aqui é combinatória, que estuda as diferentes formas de combinar elementos. Vamos precisar usar combinações, que são maneiras de selecionar um grupo sem se importar com a ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o total de comissões possíveis de 10 pessoas escolhidas entre 20, sem nenhuma restrição. A fórmula para combinações é:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
Onde $ n = 20 $ e $ k = 10 $. Então:
n = 20

Passo 3

Agora, queremos comissões que não tenham nenhum engenheiro. Sabemos que há 5 engenheiros no grupo de 20, então temos 15 pessoas que não são engenheiros. Vamos calcular quantas comissões de 10 pessoas podemos formar só com essas 15:
C(15, 10) = 15!10! times 5!

Passo 4

Para encontrar o número de comissões que tenham pelo menos um engenheiro, vamos subtrair as comissões sem engenheiros do total de comissões possíveis:
Comissões com pelo menos um en>=nheiro = C(20, 10) - C(15, 10) õ

Resposta

O número de formas de formar comissões de 10 pessoas com pelo menos um engenheiro é:
C(20, 10) - C(15, 10) = 20!10! times 10! - 15!10! times 5!

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