Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 engenheiros. De quantas formas podemos formar comissões de 10 pessoas de modo que:
Haja exatamente um engenheiro na comissão?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um grupo de 20 pessoas, das quais 5 são engenheiros. Queremos formar comissões de 10 pessoas de modo que exatamente um engenheiro esteja na comissão. Para resolver isso, vamos usar o conceito de combinações, que nos ajuda a contar de quantas maneiras podemos escolher um certo número de elementos de um conjunto maior sem se preocupar com a ordem.

Passo 2

Vamos separar as pessoas em dois grupos: engenheiros e não engenheiros. Temos 5 engenheiros e 15 não engenheiros (já que 20 - 5 = 15).

Passo 3

Como queremos exatamente um engenheiro na comissão de 10 pessoas, precisamos escolher 1 engenheiro dos 5 disponíveis. A maneira de calcular isso é usando a combinação:
C(5, 1) = 5!1!(5-1)! = 5
Isso significa que há 5 maneiras diferentes de escolher 1 engenheiro.

Passo 4

Depois de escolher 1 engenheiro, precisamos preencher o restante da comissão com 9 pessoas que não são engenheiros. Temos 15 não engenheiros disponíveis, então usamos a combinação:
C(15, 9) = 15!9!(15-9)! = 5005
Isso significa que há 5005 maneiras diferentes de escolher 9 não engenheiros.

Passo 5

Para encontrar o número total de comissões que atendem à condição, multiplicamos as duas combinações que calculamos:
5 times 5005 = 25025
Isso porque para cada uma das 5 maneiras de escolher o engenheiro, há 5005 maneiras de escolher os não engenheiros.

Resposta

Portanto, existem 25.025 maneiras de formar uma comissão de 10 pessoas com exatamente um engenheiro.

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