Resolva o sistema lCn, p=78 An, p=156

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações que envolve combinações e arranjos. A questão nos dá duas equações:
Cn, p = 78 An, p = 156
Aqui, Cn, p representa o número de combinações e An, p representa o número de arranjos. Para resolver isso, precisamos lembrar das fórmulas de combinação e arranjo e como elas se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são combinações e arranjos:
  • Combinação ( Cn, p): É o número de maneiras de escolher p elementos de um conjunto de n elementos sem se importar com a ordem. A fórmula é:
Cn, p = n!p!(n - p)!
  • Arranjo ( An, p): É o número de maneiras de escolher e ordenar p elementos de um conjunto de n elementos. A fórmula é:
An, p = n!(n - p)!

Passo 3

Vamos usar a relação entre arranjos e combinações. Sabemos que:
An, p = Cn, p times p!
Isso porque, para cada combinação de p elementos, existem p! maneiras de ordenar esses elementos.

Passo 4

Temos que Cn, p = 78 e An, p = 156. Vamos substituir na relação que acabamos de ver:
156 = 78 times p!
Agora, vamos resolver para p!:
p! = 15678 = 2

Passo 5

Sabemos que p! = 2. Vamos encontrar o valor de p. Sabemos que:
1! = 1 2! = 2 3! = 6 (excede 2)
Portanto, p = 2.

Passo 6

Agora que sabemos que p = 2, vamos usar uma das fórmulas para encontrar n. Vamos usar a fórmula da combinação:
Cn, 2 = n!2!(n - 2)! = 78
Sabendo que 2! = 2, podemos simplificar:
n!2(n - 2)! = 78 n(n - 1)(n - 2)!2(n - 2)! = 78 n(n - 1)2 = 78

Passo 7

Agora, vamos resolver para n:
n(n - 1) = 156 n^2 - n - 156 = 0
Essa é uma equação quadrática. Vamos resolvê-la:
n = 1 pm raiz1 + 6242 = 1 pm raiz6252 = 1 pm 252
Ignorando a solução negativa:
n = 1 + 252 = 13

Resposta

Os valores são n = 13 e p = 2.

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