Resolva o sistema
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações que envolve combinações e arranjos. A questão nos dá duas equações:
Aqui,
representa o número de combinações e
representa o número de arranjos. Para resolver isso, precisamos lembrar das fórmulas de combinação e arranjo e como elas se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são combinações e arranjos:
- Combinação (
): É o número de maneiras de escolher elementos de um conjunto de elementos sem se importar com a ordem. A fórmula é:
- Arranjo (
): É o número de maneiras de escolher e ordenar elementos de um conjunto de elementos. A fórmula é:
Passo 3
Vamos usar a relação entre arranjos e combinações. Sabemos que:
Isso porque, para cada combinação de
elementos, existem
maneiras de ordenar esses elementos.
Passo 4
Temos que
e
. Vamos substituir na relação que acabamos de ver:
Agora, vamos resolver para
:
Passo 5
Sabemos que
. Vamos encontrar o valor de
. Sabemos que:
Portanto,
.
Passo 6
Agora que sabemos que
, vamos usar uma das fórmulas para encontrar
. Vamos usar a fórmula da combinação:
Sabendo que
, podemos simplificar:
Passo 7
Agora, vamos resolver para
:
Essa é uma equação quadrática. Vamos resolvê-la:
Ignorando a solução negativa:
Resposta
Os valores são
e
.