Verifique quais dos conjuntos dados abaixo são ou não subespaços vetoriais.
W=(x, y, s, t) in R^4 ; t=3 x, s=y^2;

Passo 1

O enunciado define
W = (x,y,s,t)inR^4 mid t=3x, s=y^2
Queremos verificar se W é subespaço vetorial de R^4. Para isso, vamos usar o critério clássico:
  1. W deve conter o vetor zero.
  2. W deve ser fechado sob soma.
  3. W deve ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Checagem do vetor zero.
O vetor zero em R^4 é 0=(0,0,0,0). Se x=0 e y=0 então t=3cdot0=0 e s=0^2=0. Logo
0=(0,0,0,0)in W

Passo 3

Fechamento sob adição.
Seja
u=(x1,y1,y1^2,3x1)in W e v=(x2,y2,y2^2,3x2)in W
Então
u+v =(x1+x2,;y1+y2,;y1^2+y2^2,;3(x1+x2))
Para estar em W, o terceiro componente deveria ser (y1+y2)^2, mas em geral
y1^2+y2^2neq(y1+y2)^2

Passo 4

Contraexemplo explícito.
Escolha y1=y2=1. Então
y1^2+y2^2=1+1=2, (y1+y2)^2=(1+1)^2=4,
logo u+vnotin W. Isso mostra que W não é fechado sob soma, portanto não é subespaço.

Resposta

W não é subespaço vetorial de R^4.

Exercícios relacionados