Se é um grupo finito com 20 elementos, um subgrupo de pode ter 6 elementos? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado diz que é um grupo finito com e pergunta se existe um subgrupo com . O conteúdo principal aqui é o Teorema de Lagrange, que relaciona as ordens de subgrupos e do próprio grupo.
Passo 2
O Teorema de Lagrange afirma que, se é um grupo finito e é um subgrupo de , então
Ou seja, o número de elementos de H deve dividir exatamente o número de elementos de G.
Passo 3
Como lvert Grvert = 20, os divisores positivos de 20 são
1,;2,;4,;5,;10,;20
Passo 4
O número 6 não está na lista de divisores de 20. Em outras palavras,
6nmid 20
Passo 5
Pela Lagrange, não pode haver subgrupo de ordem ;6 em G, pois ;6 não divide ;20.
Resposta
Não. Não existe subgrupo de ordem 6 em G, porque 6 não divide 20.