Se G é um grupo finito com 20 elementos, um subgrupo H de G pode ter 6 elementos? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado diz que G é um grupo finito com lvert Grvert = 20 e pergunta se existe um subgrupo H<= G com lvert Hrvert = 6. O conteúdo principal aqui é o Teorema de Lagrange, que relaciona as ordens de subgrupos e do próprio grupo.

Passo 2

O Teorema de Lagrange afirma que, se G é um grupo finito e H é um subgrupo de G, então
lvert Hrvert m| lvert Grvert
Ou seja, o número de elementos de H deve dividir exatamente o número de elementos de G.

Passo 3

Como lvert Grvert = 20, os divisores positivos de 20 são
1,;2,;4,;5,;10,;20

Passo 4

O número 6 não está na lista de divisores de 20. Em outras palavras,
6nmid 20

Passo 5

Pela Lagrange, não pode haver subgrupo de ordem ;6 em G, pois ;6 não divide ;20.

Resposta

Não. Não existe subgrupo de ordem 6 em G, porque 6 não divide 20.

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