Seja G o grupo das matrizes quadradas de ordem 2, não-singulares e de entradas reais, onde a operação é o produto usual de matrizes. Prove que, G não é abeliano.

Passo 1

O enunciado define como o grupo das matrizes invertíveis reais, com a operação de produto usual de matrizes. Para mostrar que não é abeliano, basta encontrar duas matrizes tais que\r
\r
ou seja, o produto não comuta.

Passo 2

Vamos escolher duas matrizes de cisalhamento (shear), que são invertíveis e fáceis de manipular. Definimos
A=1 & 1 0 & 1, B=1 & 0 1 & 1
Note que det(A)=1 e det(B)=1, logo ambas são invertíveis.

Passo 3

Calculamos primeiro o produto AB:
AB =1 & 1 0 & 1 1 & 0 1 & 1 = 1cdot1 + 1cdot1 & 1cdot0 + 1cdot1 [4pt] 0cdot1 + 1cdot1 & 0cdot0 + 1cdot1 =2 & 1 1 & 1
Agora calculamos BA:
BA =1 & 0 1 & 1 1 & 1 0 & 1 = 1cdot1 + 0cdot0 & 1cdot1 + 0cdot1 [4pt] 1cdot1 + 1cdot0 & 1cdot1 + 1cdot1 =1 & 1 1 & 2 ]

Passo 4

Ao comparar, vemos que
AB = 2 & 1 1 & 1 e BA = 1 & 1 1 & 2,
portanto AB neq BA. Isso prova que nem todo par de elementos em G comuta.

Resposta

G não é abeliano.

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