Seja o grupo das matrizes quadradas de ordem 2, não-singulares e de entradas reais, onde a operação é o produto usual de matrizes. Prove que, não é abeliano.
Passo 1
O enunciado define como o grupo das matrizes invertíveis reais, com a operação de produto usual de matrizes. Para mostrar que não é abeliano, basta encontrar duas matrizes tais que\r
\r
ou seja, o produto não comuta.
Passo 2
Vamos escolher duas matrizes de cisalhamento (shear), que são invertíveis e fáceis de manipular. Definimos
Note que det(A)=1 e det(B)=1, logo ambas são invertíveis.