Questão 2: (26 pontos) Sejam
subespaços vetoriais de
.
(a) (10 pontos) Determine uma base de
e encontre a dimensão de
.
(a) (10 pontos) Determine uma base de
Passo 1
O enunciado pede uma base e a dimensão de
Este é um subespaço definido por duas equações lineares em quatro variáveis. Para resolver, vamos usar eliminação e parametrização, encontrando as variáveis livres e expressando uma descrição vetorial de
.
Passo 2
Escrevendo as equações:
Podemos expressar
nas duas:
Igualando as duas expressões para
dá
Substituindo
em
resulta
Passo 3
As variáveis
e
ficam livres (podem ser quaisquer reais). Chamando
e mantendo
, um vetor genérico de
é
Passo 4
Os vetores
e
geram
e são linearmente independentes. Logo eles formam uma base de
, e a dimensão de
é o número de vetores dessa base, ou seja,
.
Resposta
Uma base de
é
e
.