Questão 2: (26 pontos) Sejam
U=(x, y, z, t) in R^4 ; x-2 y+z=0 e x-y-z=0 e W=(x, y, z, t) in R^4 ; x+y+3 z=0
subespaços vetoriais de R^4.
(a) (10 pontos) Determine uma base de U e encontre a dimensão de U.

Passo 1

O enunciado pede uma base e a dimensão de
U = (x,y,z,t)inR^4 mid x-2y+z=0,;x-y-z=0
Este é um subespaço definido por duas equações lineares em quatro variáveis. Para resolver, vamos usar eliminação e parametrização, encontrando as variáveis livres e expressando uma descrição vetorial de U.

Passo 2

Escrevendo as equações:
x - 2y + z = 0, x - y - z = 0
Podemos expressar x nas duas:
x = 2y - z e x = y + z
Igualando as duas expressões para x
2y - z = y + z ;Longrightarrow; y - 2z = 0 ;Longrightarrow; y = 2z
Substituindo y=2z em x=y+z resulta
x = 2z + z = 3z

Passo 3

As variáveis z e t ficam livres (podem ser quaisquer reais). Chamando s=z e mantendo t, um vetor genérico de U é
(x,y,z,t) = (3s,2s,s,t) = s,(3,2,1,0);+;t,(0,0,0,1)

Passo 4

Os vetores (3,2,1,0) e (0,0,0,1) geram U e são linearmente independentes. Logo eles formam uma base de U, e a dimensão de U é o número de vetores dessa base, ou seja, 2.

Resposta

Uma base de U é
(3,2,1,0),;(0,0,0,1),
e dim(U)=2.

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