Se
e
são números positivos tais que
, qual é o conjunto de valores de
?
Passo 1
Resumindo: temos
com
e queremos o conjunto de valores possíveis de
O conteúdo principal é usar desigualdade AM–GM para achar o mínimo de
e depois mostrar que não há limite superior para
.
Passo 2
Para o mínimo de
, aplicamos AM–GM a
:
Como
, temos
, logo
Esse valor é atingido quando
, pois então
e
.
Passo 3
Para ver que não há teto em
, basta construir exemplos com soma arbitrariamente grande e ainda satisfazer
. Por exemplo, fixe um parâmetro
grande e tome
Então
que está no intervalo
, e
À medida que
,
. Portanto, não existe limite superior para
.
Resposta
O conjunto de valores de
é