Se x, y e z são números positivos tais que 1 <= x y z <= 3, qual é o conjunto de valores de x+y+z?

Passo 1

Resumindo: temos x,y,z>0 com
1 <= xyz <= 3,
e queremos o conjunto de valores possíveis de
S = x+y+z
O conteúdo principal é usar desigualdade AM–GM para achar o mínimo de S e depois mostrar que não há limite superior para S.

Passo 2

Para o mínimo de S, aplicamos AM–GM a x,y,z:
x+y+z3 >= raiz[3]xyz
Como xyz>=1, temos raiz[3]xyz>=1, logo
S3 >= 1 Longrightarrow S >= 3
Esse valor é atingido quando x=y=z=1, pois então xyz=1 e S=3.

Passo 3

Para ver que não há teto em S, basta construir exemplos com soma arbitrariamente grande e ainda satisfazer xyz>=1. Por exemplo, fixe um parâmetro M>0 grande e tome
x = M, y = z = 1raizM
Então
xyz = M cdot 1raizMcdot 1raizM = 1,
que está no intervalo [1,3], e
S = M + 21raizM
À medida que Mtoinfty, Stoinfty. Portanto, não existe limite superior para S.

Resposta

O conjunto de valores de x+y+z é
l[3,inftyr)

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