Prove que todo grupo de ordem menor ou igual a 4 é abeliano.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que todo grupo
com
é abeliano. Vamos usar conceitos básicos de teoria de grupos: o Teorema de Lagrange (a ordem de qualquer elemento divide a ordem do grupo) e a classificação dos grupos pequenos (cíclicos ou produto direto de
).
Passo 2
Se
o grupo é trivial (só contém o elemento neutro
) e obviamente é abeliano, pois não há dois elementos distintos para trocar de ordem.
Passo 3
Se
, então
é primo. Pelo Teorema de Lagrange, qualquer elemento
tem ordem que divide
, logo
. Assim
é cíclico, gerado por
, e todo grupo cíclico é abeliano.
Passo 4
Considere
. Pelo Teorema de Lagrange, a ordem de cada elemento divide 4, então cada elemento tem ordem
,
ou
.
Caso 4.A: Existe
com
. Então
é cíclico e, como antes, é abeliano.
Caso 4.B: Não existe elemento de ordem
. Assim todo
satisfaz
. Vamos mostrar que então
é abeliano. Tomemos quaisquer
.
- Se
, obviamente . - Se
, então (pois se então , contradição). Logo . Mas divide 4 e não pode ser 4 (não há elemento de ordem 4), então . Assim
e, tomando inversa de um lado,
já que
e
. Portanto
para todo par
.
Resposta
Todo grupo com
é abeliano.