Prove que todo grupo de ordem menor ou igual a 4 é abeliano.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que todo grupo G com lvert Grvert<= 4 é abeliano. Vamos usar conceitos básicos de teoria de grupos: o Teorema de Lagrange (a ordem de qualquer elemento divide a ordem do grupo) e a classificação dos grupos pequenos (cíclicos ou produto direto de Z2).

Passo 2

Se lvert Grvert=1 o grupo é trivial (só contém o elemento neutro e) e obviamente é abeliano, pois não há dois elementos distintos para trocar de ordem.

Passo 3

Se lvert Grvertin2,3, então lvert Grvert é primo. Pelo Teorema de Lagrange, qualquer elemento xne e tem ordem que divide lvert Grvert, logo ord(x)=lvert Grvert. Assim G é cíclico, gerado por x, e todo grupo cíclico é abeliano.

Passo 4

Considere lvert Grvert=4. Pelo Teorema de Lagrange, a ordem de cada elemento divide 4, então cada elemento tem ordem 1, 2 ou 4.
Caso 4.A: Existe ain G com ord(a)=4. Então G=e,a,a^2,a^3 é cíclico e, como antes, é abeliano.
Caso 4.B: Não existe elemento de ordem 4. Assim todo xne e satisfaz ord(x)=2. Vamos mostrar que então G é abeliano. Tomemos quaisquer a,bin G.
  • Se a=b, obviamente ab=ba.
  • Se ane b, então abne e (pois se ab=e então b=a^-1=a, contradição). Logo ord(ab)neq1. Mas ord(ab) divide 4 e não pode ser 4 (não há elemento de ordem 4), então ord(ab)=2. Assim
(ab)^2 = e
e, tomando inversa de um lado,
ab = (ab)^-1 = b^-1a^-1 = ba,
já que a^-1=a e b^-1=b. Portanto ab=ba para todo par (a,b).

Resposta

Todo grupo com lvert Grvert<= 4 é abeliano.

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