Seja
um grupo de ordem 4 com a operação binária . tal que
e
. Construa a tabela que define a operação de
.
é necessariamente abeliano?
Passo 1
O enunciado dá um grupo
de ordem 4 com a operação “
” tal que
O conteúdo aqui é teoria de grupos finitos: queremos usar as leis de potência para identificar a ordem de
, ver que o grupo é cíclico e, a partir daí, construir a tabela de Cayley.
Passo 2
De
e
temos
Como
, a menor potência de
que dá
é 4, logo
. Assim
é gerado por
, e os elementos são
Passo 3
Em grupos cíclicos vale a regra
para
. Com isso podemos preencher a tabela de produtos usando as somas de expoentes módulo 4.
Passo 4
A tabela de Cayley de
com ordem dos elementos
é
Resposta
A tabela de operação de
é a acima.
Sim, é necessariamente abeliano, pois todo grupo cíclico (de ordem 4, gerado por
) é comutativo.
Sim,