Seja G=e, a, b, c um grupo de ordem 4 com a operação binária . tal que a^2=b e b^2=e. Construa a tabela que define a operação de G. G é necessariamente abeliano?

Passo 1

O enunciado dá um grupo G= e,a,b,c de ordem 4 com a operação “ cdot” tal que
a^2 = b, b^2 = e
O conteúdo aqui é teoria de grupos finitos: queremos usar as leis de potência para identificar a ordem de a, ver que o grupo é cíclico e, a partir daí, construir a tabela de Cayley.

Passo 2

De a^2 = b e b^2 = e temos
a^4 = (a^2)^2 = b^2 = e
Como a^2 = bneq e, a menor potência de a que dá e é 4, logo ord(a)=4. Assim G é gerado por a, e os elementos são
e = a^0, a=a^1, b=a^2, c=a^3

Passo 3

Em grupos cíclicos vale a regra
a^icdot a^j = a^,i+j bmod 4,
para i,jin0,1,2,3. Com isso podemos preencher a tabela de produtos usando as somas de expoentes módulo 4.

Passo 4

A tabela de Cayley de G com ordem dos elementos e,a,b,c é
c|cccc cdot & e & a & b & chline e & e & a & b & c a & a & b & c & e b & b & c & e & a c & c & e & a & b

Resposta

A tabela de operação de G é a acima.
Sim, G é necessariamente abeliano, pois todo grupo cíclico (de ordem 4, gerado por a) é comutativo.

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