Para o grupo de Pauli GP discutido em aula,
GP=sigma0,-sigma0, i sigma0,-i sigma0, sigma1,-sigma1, i sigma1,-i sigma1, sigma2,-sigma2, i sigma2,-i sigma2, sigma3,-sigma3, i sigma3,-i sigma3
mostre que ao fazermos a composição de todos os elementos com -i sigma2 obtemos o próprio grupo GP reorganizado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente trabalhar com o grupo de Pauli , que é um conjunto de matrizes usadas na física quântica. A gente precisa mostrar que, quando multiplicamos todos os elementos desse grupo por , ainda obtemos o mesmo grupo , só que reorganizado. Para resolver isso, vamos precisar saber como se multiplicam as matrizes de Pauli e entender um pouco sobre propriedades de grupos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as matrizes de Pauli. Elas são:
sigma0 = 1 & 0 0 & 1 , sigma1 = 0 & 1 1 & 0 , sigma2 = 0 & -i i & 0 , sigma3 = 1 & 0 0 & -1
O grupo inclui todas essas matrizes, além de suas negativas e multiplicações por e .

Passo 3

Agora, vamos multiplicar cada elemento de por . Vamos fazer isso passo a passo para ver o que acontece. A ideia é verificar se o produto de com qualquer elemento de ainda está dentro de .

Passo 4

Vamos começar multiplicando - i sigma2 cdot sigma0 = -i sigma2 por :
Como já está em , está tudo certo.

Passo 5

Agora, multiplicamos - i sigma2 cdot sigma1 = -i (sigma2 sigma1) por - i cdot i sigma3 = -i^2 sigma3 = sigma3 :
Sabemos que (propriedade das matrizes de Pauli), então:
está em .

Passo 6

Vamos multiplicar - i sigma2 cdot sigma2 = -i (sigma2 sigma2) = -i cdot I = -i sigma0 por :
está em .

Passo 7

Por fim, multiplicamos - i sigma2 cdot sigma3 = -i (sigma2 sigma3) por -i cdot (-i) sigma1 = -i cdot -i sigma1 = -(-1) sigma1 = sigma1 :
Sabemos que :
também está em .

Passo 8

Além disso, se multiplicarmos pelas versões negativas e multiplicadas por e , vamos perceber que todos os produtos resultam em elementos que também pertencem a . Isso porque o grupo é fechado sob multiplicação e inclui todas essas variações.

Resposta

Ao multiplicar cada elemento de por , obtemos novamente o grupo , apenas reorganizado.

Exercícios relacionados