Para o grupo de Pauli
discutido em aula,
mostre que ao fazermos a composição de todos os elementos com
obtemos o próprio grupo
reorganizado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente trabalhar com o grupo de Pauli
, que é um conjunto de matrizes usadas na física quântica. A gente precisa mostrar que, quando multiplicamos todos os elementos desse grupo por
, ainda obtemos o mesmo grupo
, só que reorganizado. Para resolver isso, vamos precisar saber como se multiplicam as matrizes de Pauli e entender um pouco sobre propriedades de grupos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as matrizes de Pauli. Elas são:
O grupo
inclui todas essas matrizes, além de suas negativas e multiplicações por
e
.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar cada elemento de
por
. Vamos fazer isso passo a passo para ver o que acontece. A ideia é verificar se o produto de
com qualquer elemento de
ainda está dentro de
.
Passo 4
Vamos começar multiplicando
por
:
Como
já está em
, está tudo certo.
Passo 5
Agora, multiplicamos
por
:
Sabemos que
(propriedade das matrizes de Pauli), então:
Passo 6
Vamos multiplicar
por
:
Passo 7
Por fim, multiplicamos
por
:
Sabemos que
:
Passo 8
Além disso, se multiplicarmos pelas versões negativas e multiplicadas por
e
, vamos perceber que todos os produtos resultam em elementos que também pertencem a
. Isso porque o grupo
é fechado sob multiplicação e inclui todas essas variações.
Resposta
Ao multiplicar cada elemento de
por
, obtemos novamente o grupo
, apenas reorganizado.