Mostre que a composição de
, subgrupo de
,
com um de seus elementos gera apenas elementos de
. Não usar
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, ao compor os elementos do grupo $ H_{4} $ com um de seus próprios elementos, o resultado sempre pertence a $ H_{4} $. Estamos trabalhando com conceitos de grupos na Matéria de Álgebra, especificamente sobre operações de composição dentro de subgrupos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subgrupo e como funciona a composição de elementos dentro dele.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um subgrupo. Um subgrupo é um conjunto de elementos que, por si só, forma um grupo dentro de um grupo maior. Isso significa que, se você pegar dois elementos do subgrupo e “compor” (ou multiplicar) eles, o resultado também estará no subgrupo. Além disso, o subgrupo deve conter o elemento neutro e o inverso de cada elemento.
Passo 3
No nosso caso, o subgrupo $ H_{4} $ é definido como:
Aqui, $ \sigma_{0}, \sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3} $ são provavelmente as matrizes de Pauli, que são usadas em várias áreas da física e matemática.
Passo 4
O objetivo é mostrar que, se você pegar qualquer elemento de $ H_{4} $ e compor com outro elemento de $ H_{4} $, o resultado também estará em $ H_{4} $. Vamos escolher um elemento genérico de $ H_{4} $. Vamos ignorar $ \sigma_{0} $ e $ -\sigma_{0} $ conforme a instrução.
Passo 5
Vamos considerar, por exemplo, $ i \sigma_{1} $ e $ i \sigma_{2} $. Queremos ver o que acontece quando compomos esses dois elementos:
Sabemos que $ i \cdot i = i^{2} = -1 $, então:
Agora, precisamos lembrar da propriedade das matrizes de Pauli: $ \sigma_{1} \cdot \sigma_{2} = i \sigma_{3} $. Substituindo, temos:
Note que $ -i \sigma_{3} $ também está em $ H_{4} $.
Passo 6
Vamos fazer mais um exemplo para reforçar. Considere $ i \sigma_{2} $ e $ i \sigma_{3} $:
Usando a propriedade das matrizes de Pauli novamente: $ \sigma_{2} \cdot \sigma_{3} = i \sigma_{1} $. Então:
E $ -i \sigma_{1} $ também está em $ H_{4} $.
Passo 7
Observando os exemplos acima, percebemos um padrão: a composição de dois elementos de $ H_{4} $ resulta em outro elemento de $ H_{4} $. Isso ocorre porque as propriedades das matrizes de Pauli garantem que a composição sempre produz um elemento que já está no conjunto $ H_{4} $.
Resposta
Assim, mostramos que ao compor qualquer elemento de $ H_{4} $ com outro elemento de $ H_{4} $, o resultado permanece dentro de $ H_{4} $.