Utilize o teorema de Lagrange (enunciado 2) para obter
a partir de
. Indique ainda qual é a razão entre as ordens de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o Teorema de Lagrange para encontrar o grupo
a partir do subgrupo
. Além disso, precisamos determinar a razão entre as ordens desses dois grupos. Então, estamos tratando de teoria de grupos, especificamente aplicando o Teorema de Lagrange para relacionar as ordens de um grupo e seu subgrupo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Lagrange. Esse teorema nos diz que, em um grupo finito
, a ordem (número de elementos) de qualquer subgrupo
de
divide exatamente a ordem de
. Ou seja:
Aqui,
representa o índice de
em
, que é a quantidade de cosets de
em
.
Passo 3
No nosso caso, queremos encontrar
a partir de
. Assumindo que
é um subgrupo de
, aplicamos o Teorema de Lagrange:
Aqui,
é a razão entre as ordens dos grupos que precisamos determinar.
Passo 4
Vamos reorganizar a fórmula para encontrar a razão:
Isso significa que a razão entre as ordens de
e
é igual ao índice de
em
.
Resposta
Usando o Teorema de Lagrange, a razão entre as ordens de
e
é igual ao índice de
em
, ou seja: