Utilize o teorema de Lagrange (enunciado 2) para obter GP a partir de H4. Indique ainda qual é a razão entre as ordens de GP e H4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o Teorema de Lagrange para encontrar o grupo a partir do subgrupo . Além disso, precisamos determinar a razão entre as ordens desses dois grupos. Então, estamos tratando de teoria de grupos, especificamente aplicando o Teorema de Lagrange para relacionar as ordens de um grupo e seu subgrupo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Lagrange. Esse teorema nos diz que, em um grupo finito |G| = |H| times [G : H] , a ordem (número de elementos) de qualquer subgrupo de divide exatamente a ordem de . Ou seja:
Aqui, representa o índice de em , que é a quantidade de cosets de em .

Passo 3

No nosso caso, queremos encontrar |GP| = |H4| times [GP : H4] a partir de . Assumindo que é um subgrupo de , aplicamos o Teorema de Lagrange:
Aqui, é a razão entre as ordens dos grupos que precisamos determinar.

Passo 4

Vamos reorganizar a fórmula para encontrar a razão:
|GP||H4| = [GP : H4]
Isso significa que a razão entre as ordens de e é igual ao índice de em .

Resposta

Usando o Teorema de Lagrange, a razão entre as ordens de |GP||H4| = [GP : H4] e é igual ao índice de em , ou seja:

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