Da mesma forma que mostramos que a composição pela esquerda do elemento
com o grupo
- na forma
- resulta no próprio grupo
, mostre que, também pela direita,
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um grupo
e um elemento
. Já vimos que quando compomos
pela esquerda com
, ou seja,
, obtemos novamente o grupo
. Agora, a questão quer que mostremos que o mesmo acontece quando compomos
pela direita com
, ou seja,
.
Neste problema, estamos trabalhando com os conceitos de grupos e suas operações. Precisaremos entender o que significa a composição de um elemento com um grupo, tanto pela esquerda quanto pela direita, e como isso afeta a estrutura do grupo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a composição de um elemento com um grupo. A expressão
representa o conjunto formado pela multiplicação de
por cada elemento de
. Da mesma forma,
é o conjunto de todos os elementos de
multiplicados por
.
Como um grupo é fechado sob a operação definida, multiplicar um elemento do grupo por outro elemento do grupo sempre resulta em um elemento que pertence ao próprio grupo.
Passo 3
Já sabemos que
. Isso significa que, independentemente de qual elemento
escolhermos, ao multiplicar
por todos os elementos de
, o conjunto resultante é o mesmo grupo
.
De forma semelhante, queremos mostrar que
. Ou seja, ao multiplicar todos os elementos de
por
, o conjunto resultante também deve ser igual a
.
Passo 4
Vamos considerar que
é um grupo, então para qualquer elemento
em
, existe um inverso
tal que
, onde
é o elemento neutro do grupo.
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da igualdade
por
:
Como
e
(porque
é o elemento neutro), temos:
Então:
Isso mostra que
é igual a
.
Resposta
Portanto, mostramos que
.