Da mesma forma que mostramos que a composição pela esquerda do elemento gj com o grupo G - na forma gj * G - resulta no próprio grupo G, mostre que, também pela direita, G * gj=G.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um grupo e um elemento . Já vimos que quando compomos pela esquerda com , ou seja, , obtemos novamente o grupo . Agora, a questão quer que mostremos que o mesmo acontece quando compomos pela direita com , ou seja, .
Neste problema, estamos trabalhando com os conceitos de grupos e suas operações. Precisaremos entender o que significa a composição de um elemento com um grupo, tanto pela esquerda quanto pela direita, e como isso afeta a estrutura do grupo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a composição de um elemento com um grupo. A expressão representa o conjunto formado pela multiplicação de por cada elemento de . Da mesma forma, é o conjunto de todos os elementos de multiplicados por .
Como um grupo é fechado sob a operação definida, multiplicar um elemento do grupo por outro elemento do grupo sempre resulta em um elemento que pertence ao próprio grupo.

Passo 3

Já sabemos que . Isso significa que, independentemente de qual elemento escolhermos, ao multiplicar por todos os elementos de , o conjunto resultante é o mesmo grupo .
De forma semelhante, queremos mostrar que . Ou seja, ao multiplicar todos os elementos de por , o conjunto resultante também deve ser igual a .

Passo 4

Vamos considerar que é um grupo, então para qualquer elemento em , existe um inverso tal que , onde é o elemento neutro do grupo.
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da igualdade por :
Como e (porque é o elemento neutro), temos:
Então:
Isso mostra que é igual a .

Resposta

Portanto, mostramos que .

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